Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17887 / 15805
↖ ↑ ↗
← N  6.348057°
E 16.512451°		 ← 1 214.15 m → N  6.348057°
E 16.523438°		 →
↑
1 214.19 m
↓
↑
1 214.19 m
↓
N  6.337137°
E 16.512451°		 ← 1 214.17 m →
1 474 217 m²		 N  6.337137°
E 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545883178710938 y=0.482345581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545883178710938 × 215)
    floor (0.545883178710938 × 32768)
    floor (17887.5)     		tx = 17887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482345581054688 × 215)
    floor (0.482345581054688 × 32768)
    floor (15805.5)     		ty = 15805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17887 / 15805 ti = "15/17887/15805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17887/15805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17887 ÷ 215
    17887 ÷ 32768     		x = 0.545867919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15805 ÷ 215
    15805 ÷ 32768     		y = 0.482330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545867919921875 × 2 - 1) × π
    0.09173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28819664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482330322265625 × 2 - 1) × π
    0.03533935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.11102185952005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28819664} λ = 0.28819664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11102185952005))-π/2
    2×atan(1.1174193328378)-π/2
    2×0.840795406707745-π/2
    1.68159081341549-1.57079632675     		φ = 0.11079449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28819664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.512451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11079449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.348057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17887 KachelY 15805 0.28819664 0.11079449 16.512451 6.348057
    Oben rechts KachelX + 1 17888 KachelY 15805 0.28838839 0.11079449 16.523438 6.348057
    Unten links KachelX 17887 KachelY + 1 15806 0.28819664 0.11060391 16.512451 6.337137
    Unten rechts KachelX + 1 17888 KachelY + 1 15806 0.28838839 0.11060391 16.523438 6.337137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11079449-0.11060391) × R
    0.000190579999999996 × 6371000     		dl = 1214.18517999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11079449-0.11060391) × R
    0.000190579999999996 × 6371000     		dr = 1214.18517999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28819664-0.28838839) × cos(0.11079449) × R
    0.000191749999999991 × 0.993868566503976 × 6371000     		do = 1214.14885018243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28819664-0.28838839) × cos(0.11060391) × R
    0.000191749999999991 × 0.993889620495557 × 6371000     		du = 1214.17457056492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11079449)-sin(0.11060391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993868566503976-0.993889620495557)×R²
    abs(0.28838839-0.28819664)×2.10539915814767e-05×R²
    0.000191749999999991×2.10539915814767e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.10539915814767e-05×40589641000000     		ar = 1474217.15932118m²