Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17886 / 15798
↖ ↑ ↗
← N  6.424484°
E 16.501465°		 ← 1 213.97 m → N  6.424484°
E 16.512451°		 →
↑
1 213.93 m
↓
↑
1 213.93 m
↓
N  6.413566°
E 16.501465°		 ← 1 213.99 m →
1 473 688 m²		 N  6.413566°
E 16.512451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545852661132812 y=0.482131958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545852661132812 × 215)
    floor (0.545852661132812 × 32768)
    floor (17886.5)     		tx = 17886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482131958007812 × 215)
    floor (0.482131958007812 × 32768)
    floor (15798.5)     		ty = 15798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17886 / 15798 ti = "15/17886/15798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17886/15798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17886 ÷ 215
    17886 ÷ 32768     		x = 0.54583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15798 ÷ 215
    15798 ÷ 32768     		y = 0.48211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54583740234375 × 2 - 1) × π
    0.0916748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28800489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48211669921875 × 2 - 1) × π
    0.0357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.112364092709412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28800489} λ = 0.28800489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112364092709412))-π/2
    2×atan(1.11892017716898)-π/2
    2×0.84146235870638-π/2
    1.68292471741276-1.57079632675     		φ = 0.11212839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28800489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.501465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11212839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.424484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17886 KachelY 15798 0.28800489 0.11212839 16.501465 6.424484
    Oben rechts KachelX + 1 17887 KachelY 15798 0.28819664 0.11212839 16.512451 6.424484
    Unten links KachelX 17886 KachelY + 1 15799 0.28800489 0.11193785 16.501465 6.413566
    Unten rechts KachelX + 1 17887 KachelY + 1 15799 0.28819664 0.11193785 16.512451 6.413566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11212839-0.11193785) × R
    0.000190539999999989 × 6371000     		dl = 1213.93033999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11212839-0.11193785) × R
    0.000190539999999989 × 6371000     		dr = 1213.93033999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28800489-0.28819664) × cos(0.11212839) × R
    0.000191749999999991 × 0.993720195763811 × 6371000     		do = 1213.9675946627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28800489-0.28819664) × cos(0.11193785) × R
    0.000191749999999991 × 0.993741497927057 × 6371000     		du = 1213.99361822143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11212839)-sin(0.11193785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993720195763811-0.993741497927057)×R²
    abs(0.28819664-0.28800489)×2.13021632461396e-05×R²
    0.000191749999999991×2.13021632461396e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.13021632461396e-05×40589641000000     		ar = 1473687.89479005m²