Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17882 / 15797
↖ ↑ ↗
← N  6.435401°
E 16.457519°		 ← 1 213.94 m → N  6.435401°
E 16.468506°		 →
↑
1 213.93 m
↓
↑
1 213.93 m
↓
N  6.424484°
E 16.457519°		 ← 1 213.97 m →
1 473 656 m²		 N  6.424484°
E 16.468506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545730590820312 y=0.482101440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545730590820312 × 215)
    floor (0.545730590820312 × 32768)
    floor (17882.5)     		tx = 17882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482101440429688 × 215)
    floor (0.482101440429688 × 32768)
    floor (15797.5)     		ty = 15797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17882 / 15797 ti = "15/17882/15797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17882/15797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17882 ÷ 215
    17882 ÷ 32768     		x = 0.54571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15797 ÷ 215
    15797 ÷ 32768     		y = 0.482086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54571533203125 × 2 - 1) × π
    0.0914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28723790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482086181640625 × 2 - 1) × π
    0.03582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.112555840307892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28723790} λ = 0.28723790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112555840307892))-π/2
    2×atan(1.1191347479969)-π/2
    2×0.841557629414311-π/2
    1.68311525882862-1.57079632675     		φ = 0.11231893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28723790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.457519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11231893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.435401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17882 KachelY 15797 0.28723790 0.11231893 16.457519 6.435401
    Oben rechts KachelX + 1 17883 KachelY 15797 0.28742965 0.11231893 16.468506 6.435401
    Unten links KachelX 17882 KachelY + 1 15798 0.28723790 0.11212839 16.457519 6.424484
    Unten rechts KachelX + 1 17883 KachelY + 1 15798 0.28742965 0.11212839 16.468506 6.424484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11231893-0.11212839) × R
    0.000190540000000003 × 6371000     		dl = 1213.93034000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11231893-0.11212839) × R
    0.000190540000000003 × 6371000     		dr = 1213.93034000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28723790-0.28742965) × cos(0.11231893) × R
    0.000191749999999991 × 0.993698857523065 × 6371000     		do = 1213.94152703027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28723790-0.28742965) × cos(0.11212839) × R
    0.000191749999999991 × 0.993720195763811 × 6371000     		du = 1213.9675946627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11231893)-sin(0.11212839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993698857523065-0.993720195763811)×R²
    abs(0.28742965-0.28723790)×2.13382407462381e-05×R²
    0.000191749999999991×2.13382407462381e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.13382407462381e-05×40589641000000     		ar = 1473656.27725147m²