Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17881 / 15784
↖ ↑ ↗
← N  6.577303°
E 16.446533°		 ← 1 213.60 m → N  6.577303°
E 16.457519°		 →
↑
1 213.61 m
↓
↑
1 213.61 m
↓
N  6.566389°
E 16.446533°		 ← 1 213.63 m →
1 472 854 m²		 N  6.566389°
E 16.457519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545700073242188 y=0.481704711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545700073242188 × 215)
    floor (0.545700073242188 × 32768)
    floor (17881.5)     		tx = 17881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481704711914062 × 215)
    floor (0.481704711914062 × 32768)
    floor (15784.5)     		ty = 15784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17881 / 15784 ti = "15/17881/15784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17881/15784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17881 ÷ 215
    17881 ÷ 32768     		x = 0.545684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15784 ÷ 215
    15784 ÷ 32768     		y = 0.481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545684814453125 × 2 - 1) × π
    0.09136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28704615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28704615} λ = 0.28704615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115048559088135))-π/2
    2×atan(1.12192791604577)-π/2
    2×0.842795961052291-π/2
    1.68559192210458-1.57079632675     		φ = 0.11479560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28704615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.446533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11479560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.577303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17881 KachelY 15784 0.28704615 0.11479560 16.446533 6.577303
    Oben rechts KachelX + 1 17882 KachelY 15784 0.28723790 0.11479560 16.457519 6.577303
    Unten links KachelX 17881 KachelY + 1 15785 0.28704615 0.11460511 16.446533 6.566389
    Unten rechts KachelX + 1 17882 KachelY + 1 15785 0.28723790 0.11460511 16.457519 6.566389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11479560-0.11460511) × R
    0.000190490000000001 × 6371000     		dl = 1213.61179000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11479560-0.11460511) × R
    0.000190490000000001 × 6371000     		dr = 1213.61179000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28704615-0.28723790) × cos(0.11479560) × R
    0.000191749999999991 × 0.993418217785461 × 6371000     		do = 1213.59868651171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28704615-0.28723790) × cos(0.11460511) × R
    0.000191749999999991 × 0.993440019178765 × 6371000     		du = 1213.62531994947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11479560)-sin(0.11460511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993418217785461-0.993440019178765)×R²
    abs(0.28723790-0.28704615)×2.18013933042105e-05×R²
    0.000191749999999991×2.18013933042105e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.18013933042105e-05×40589641000000     		ar = 1472853.84005981m²