Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17879 / 10743
↖ ↑ ↗
← N 76.196796°
W 81.787720°		 ← 145.74 m → N 76.196796°
W 81.782226°		 →
↑
145.77 m
↓
↑
145.77 m
↓
N 76.195485°
W 81.787720°		 ← 145.76 m →
21 246 m²		 N 76.195485°
W 81.782226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272819519042969 y=0.163932800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272819519042969 × 216)
    floor (0.272819519042969 × 65536)
    floor (17879.5)     		tx = 17879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163932800292969 × 216)
    floor (0.163932800292969 × 65536)
    floor (10743.5)     		ty = 10743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17879 / 10743 ti = "16/17879/10743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17879/10743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17879 ÷ 216
    17879 ÷ 65536     		x = 0.272811889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10743 ÷ 216
    10743 ÷ 65536     		y = 0.163925170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272811889648438 × 2 - 1) × π
    -0.454376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42746500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163925170898438 × 2 - 1) × π
    0.672149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11162042826347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42746500} λ = -1.42746500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11162042826347))-π/2
    2×atan(8.26161780284532)-π/2
    2×1.45034064665381-π/2
    2.90068129330762-1.57079632675     		φ = 1.32988497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42746500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.787720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32988497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.196796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17879 KachelY 10743 -1.42746500 1.32988497 -81.787720 76.196796
    Oben rechts KachelX + 1 17880 KachelY 10743 -1.42736912 1.32988497 -81.782226 76.196796
    Unten links KachelX 17879 KachelY + 1 10744 -1.42746500 1.32986209 -81.787720 76.195485
    Unten rechts KachelX + 1 17880 KachelY + 1 10744 -1.42736912 1.32986209 -81.782226 76.195485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32988497-1.32986209) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dl = 145.768479999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32988497-1.32986209) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dr = 145.768479999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42746500--1.42736912) × cos(1.32988497) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238587763053643 × 6371000     		do = 145.741688171112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42746500--1.42736912) × cos(1.32986209) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23860998223829 × 6371000     		du = 145.755260792937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32988497)-sin(1.32986209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238587763053643-0.23860998223829)×R²
    abs(-1.42736912--1.42746500)×2.22191846462882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22191846462882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22191846462882e-05×40589641000000     		ar = 21245.5335885716m²