Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17878 / 15794
↖ ↑ ↗
← N  6.468151°
E 16.413574°		 ← 1 213.86 m → N  6.468151°
E 16.424561°		 →
↑
1 213.87 m
↓
↑
1 213.87 m
↓
N  6.457234°
E 16.413574°		 ← 1 213.89 m →
1 473 484 m²		 N  6.457234°
E 16.424561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545608520507812 y=0.482009887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545608520507812 × 215)
    floor (0.545608520507812 × 32768)
    floor (17878.5)     		tx = 17878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482009887695312 × 215)
    floor (0.482009887695312 × 32768)
    floor (15794.5)     		ty = 15794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17878 / 15794 ti = "15/17878/15794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17878/15794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17878 ÷ 215
    17878 ÷ 32768     		x = 0.54559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15794 ÷ 215
    15794 ÷ 32768     		y = 0.48199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54559326171875 × 2 - 1) × π
    0.0911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28647091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48199462890625 × 2 - 1) × π
    0.0360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.113131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28647091} λ = 0.28647091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.113131083103333))-π/2
    2×atan(1.11977870739656)-π/2
    2×0.84184342923944-π/2
    1.68368685847888-1.57079632675     		φ = 0.11289053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28647091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.413574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11289053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.468151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17878 KachelY 15794 0.28647091 0.11289053 16.413574 6.468151
    Oben rechts KachelX + 1 17879 KachelY 15794 0.28666266 0.11289053 16.424561 6.468151
    Unten links KachelX 17878 KachelY + 1 15795 0.28647091 0.11270000 16.413574 6.457234
    Unten rechts KachelX + 1 17879 KachelY + 1 15795 0.28666266 0.11270000 16.424561 6.457234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11289053-0.11270000) × R
    0.000190530000000008 × 6371000     		dl = 1213.86663000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11289053-0.11270000) × R
    0.000190530000000008 × 6371000     		dr = 1213.86663000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28647091-0.28666266) × cos(0.11289053) × R
    0.000191749999999991 × 0.993634628596597 × 6371000     		do = 1213.86306245272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28647091-0.28666266) × cos(0.11270000) × R
    0.000191749999999991 × 0.993656073936788 × 6371000     		du = 1213.88926092202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11289053)-sin(0.11270000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993634628596597-0.993656073936788)×R²
    abs(0.28666266-0.28647091)×2.14453401908843e-05×R²
    0.000191749999999991×2.14453401908843e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.14453401908843e-05×40589641000000     		ar = 1473483.7700824m²