Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17875 / 15778
↖ ↑ ↗
← N  6.642783°
E 16.380615°		 ← 1 213.44 m → N  6.642783°
E 16.391602°		 →
↑
1 213.42 m
↓
↑
1 213.42 m
↓
N  6.631870°
E 16.380615°		 ← 1 213.46 m →
1 472 427 m²		 N  6.631870°
E 16.391602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545516967773438 y=0.481521606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545516967773438 × 215)
    floor (0.545516967773438 × 32768)
    floor (17875.5)     		tx = 17875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481521606445312 × 215)
    floor (0.481521606445312 × 32768)
    floor (15778.5)     		ty = 15778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17875 / 15778 ti = "15/17875/15778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17875/15778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17875 ÷ 215
    17875 ÷ 32768     		x = 0.545501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15778 ÷ 215
    15778 ÷ 32768     		y = 0.48150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545501708984375 × 2 - 1) × π
    0.09100341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28589567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48150634765625 × 2 - 1) × π
    0.0369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.116199044679016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28589567} λ = 0.28589567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116199044679016))-π/2
    2×atan(1.1232194207335)-π/2
    2×0.843367379948996-π/2
    1.68673475989799-1.57079632675     		φ = 0.11593843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28589567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.380615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11593843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.642783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17875 KachelY 15778 0.28589567 0.11593843 16.380615 6.642783
    Oben rechts KachelX + 1 17876 KachelY 15778 0.28608742 0.11593843 16.391602 6.642783
    Unten links KachelX 17875 KachelY + 1 15779 0.28589567 0.11574797 16.380615 6.631870
    Unten rechts KachelX + 1 17876 KachelY + 1 15779 0.28608742 0.11574797 16.391602 6.631870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11593843-0.11574797) × R
    0.00019045999999999 × 6371000     		dl = 1213.42065999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11593843-0.11574797) × R
    0.00019045999999999 × 6371000     		dr = 1213.42065999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28589567-0.28608742) × cos(0.11593843) × R
    0.000191749999999991 × 0.993286665178276 × 6371000     		do = 1213.43797668333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28589567-0.28608742) × cos(0.11574797) × R
    0.000191749999999991 × 0.993308679359827 × 6371000     		du = 1213.46487007157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11593843)-sin(0.11574797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993286665178276-0.993308679359827)×R²
    abs(0.28608742-0.28589567)×2.20141815516772e-05×R²
    0.000191749999999991×2.20141815516772e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.20141815516772e-05×40589641000000     		ar = 1472427.03148354m²