Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17874 / 15781
↖ ↑ ↗
← N  6.610044°
E 16.369629°		 ← 1 213.52 m → N  6.610044°
E 16.380615°		 →
↑
1 213.48 m
↓
↑
1 213.48 m
↓
N  6.599131°
E 16.369629°		 ← 1 213.55 m →
1 472 602 m²		 N  6.599131°
E 16.380615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545486450195312 y=0.481613159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545486450195312 × 215)
    floor (0.545486450195312 × 32768)
    floor (17874.5)     		tx = 17874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481613159179688 × 215)
    floor (0.481613159179688 × 32768)
    floor (15781.5)     		ty = 15781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17874 / 15781 ti = "15/17874/15781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17874/15781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17874 ÷ 215
    17874 ÷ 32768     		x = 0.54547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15781 ÷ 215
    15781 ÷ 32768     		y = 0.481597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54547119140625 × 2 - 1) × π
    0.0909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28570392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481597900390625 × 2 - 1) × π
    0.03680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.115623801883575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28570392} λ = 0.28570392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115623801883575))-π/2
    2×atan(1.12257348265745)-π/2
    2×0.843081679960045-π/2
    1.68616335992009-1.57079632675     		φ = 0.11536703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28570392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.369629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11536703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.610044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17874 KachelY 15781 0.28570392 0.11536703 16.369629 6.610044
    Oben rechts KachelX + 1 17875 KachelY 15781 0.28589567 0.11536703 16.380615 6.610044
    Unten links KachelX 17874 KachelY + 1 15782 0.28570392 0.11517656 16.369629 6.599131
    Unten rechts KachelX + 1 17875 KachelY + 1 15782 0.28589567 0.11517656 16.380615 6.599131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11536703-0.11517656) × R
    0.000190469999999998 × 6371000     		dl = 1213.48436999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11536703-0.11517656) × R
    0.000190469999999998 × 6371000     		dr = 1213.48436999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28570392-0.28589567) × cos(0.11536703) × R
    0.000191749999999991 × 0.993352601927508 × 6371000     		do = 1213.51852760421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28570392-0.28589567) × cos(0.11517656) × R
    0.000191749999999991 × 0.993374509155255 × 6371000     		du = 1213.54529033348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11536703)-sin(0.11517656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993352601927508-0.993374509155255)×R²
    abs(0.28589567-0.28570392)×2.19072277468646e-05×R²
    0.000191749999999991×2.19072277468646e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.19072277468646e-05×40589641000000     		ar = 1472602.00848197m²