Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17873 / 15782
↖ ↑ ↗
← N  6.599131°
E 16.358642°		 ← 1 213.55 m → N  6.599131°
E 16.369629°		 →
↑
1 213.55 m
↓
↑
1 213.55 m
↓
N  6.588217°
E 16.358642°		 ← 1 213.57 m →
1 472 712 m²		 N  6.588217°
E 16.369629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545455932617188 y=0.481643676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545455932617188 × 215)
    floor (0.545455932617188 × 32768)
    floor (17873.5)     		tx = 17873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481643676757812 × 215)
    floor (0.481643676757812 × 32768)
    floor (15782.5)     		ty = 15782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17873 / 15782 ti = "15/17873/15782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17873/15782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17873 ÷ 215
    17873 ÷ 32768     		x = 0.545440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15782 ÷ 215
    15782 ÷ 32768     		y = 0.48162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545440673828125 × 2 - 1) × π
    0.09088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28551217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    0.0367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.115432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28551217} λ = 0.28551217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115432054285095))-π/2
    2×atan(1.12235825252362)-π/2
    2×0.842986442421671-π/2
    1.68597288484334-1.57079632675     		φ = 0.11517656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28551217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.358642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11517656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.599131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17873 KachelY 15782 0.28551217 0.11517656 16.358642 6.599131
    Oben rechts KachelX + 1 17874 KachelY 15782 0.28570392 0.11517656 16.369629 6.599131
    Unten links KachelX 17873 KachelY + 1 15783 0.28551217 0.11498608 16.358642 6.588217
    Unten rechts KachelX + 1 17874 KachelY + 1 15783 0.28570392 0.11498608 16.369629 6.588217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11517656-0.11498608) × R
    0.000190479999999993 × 6371000     		dl = 1213.54807999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11517656-0.11498608) × R
    0.000190479999999993 × 6371000     		dr = 1213.54807999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28551217-0.28570392) × cos(0.11517656) × R
    0.000191749999999991 × 0.993374509155255 × 6371000     		do = 1213.54529033348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28551217-0.28570392) × cos(0.11498608) × R
    0.000191749999999991 × 0.993396381491875 × 6371000     		du = 1213.57201043839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11517656)-sin(0.11498608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993374509155255-0.993396381491875)×R²
    abs(0.28570392-0.28551217)×2.1872336619766e-05×R²
    0.000191749999999991×2.1872336619766e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.1872336619766e-05×40589641000000     		ar = 1472711.77459608m²