Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17872 / 15777
↖ ↑ ↗
← N  6.653695°
E 16.347656°		 ← 1 213.35 m → N  6.653695°
E 16.358642°		 →
↑
1 213.42 m
↓
↑
1 213.42 m
↓
N  6.642783°
E 16.347656°		 ← 1 213.37 m →
1 472 318 m²		 N  6.642783°
E 16.358642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545425415039062 y=0.481491088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545425415039062 × 215)
    floor (0.545425415039062 × 32768)
    floor (17872.5)     		tx = 17872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481491088867188 × 215)
    floor (0.481491088867188 × 32768)
    floor (15777.5)     		ty = 15777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17872 / 15777 ti = "15/17872/15777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17872/15777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17872 ÷ 215
    17872 ÷ 32768     		x = 0.54541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15777 ÷ 215
    15777 ÷ 32768     		y = 0.481475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54541015625 × 2 - 1) × π
    0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481475830078125 × 2 - 1) × π
    0.03704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116390792277496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28532043} λ = 0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116390792277496))-π/2
    2×atan(1.1234348160101)-π/2
    2×0.843462609058562-π/2
    1.68692521811712-1.57079632675     		φ = 0.11612889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11612889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.653695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17872 KachelY 15777 0.28532043 0.11612889 16.347656 6.653695
    Oben rechts KachelX + 1 17873 KachelY 15777 0.28551217 0.11612889 16.358642 6.653695
    Unten links KachelX 17872 KachelY + 1 15778 0.28532043 0.11593843 16.347656 6.642783
    Unten rechts KachelX + 1 17873 KachelY + 1 15778 0.28551217 0.11593843 16.358642 6.642783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11612889-0.11593843) × R
    0.000190460000000003 × 6371000     		dl = 1213.42066000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11612889-0.11593843) × R
    0.000190460000000003 × 6371000     		dr = 1213.42066000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28532043-0.28551217) × cos(0.11612889) × R
    0.000191739999999996 × 0.993264614965239 × 6371000     		do = 1213.34775838903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28532043-0.28551217) × cos(0.11593843) × R
    0.000191739999999996 × 0.993286665178276 × 6371000     		du = 1213.37469438992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11612889)-sin(0.11593843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993264614965239-0.993286665178276)×R²
    abs(0.28551217-0.28532043)×2.20502130369171e-05×R²
    0.000191739999999996×2.20502130369171e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.20502130369171e-05×40589641000000     		ar = 1472317.58459468m²