Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17871 / 15776
↖ ↑ ↗
← N  6.664608°
E 16.336670°		 ← 1 213.38 m → N  6.664608°
E 16.347656°		 →
↑
1 213.42 m
↓
↑
1 213.42 m
↓
N  6.653695°
E 16.336670°		 ← 1 213.41 m →
1 472 362 m²		 N  6.653695°
E 16.347656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545394897460938 y=0.481460571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545394897460938 × 215)
    floor (0.545394897460938 × 32768)
    floor (17871.5)     		tx = 17871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481460571289062 × 215)
    floor (0.481460571289062 × 32768)
    floor (15776.5)     		ty = 15776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17871 / 15776 ti = "15/17871/15776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17871/15776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17871 ÷ 215
    17871 ÷ 32768     		x = 0.545379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15776 ÷ 215
    15776 ÷ 32768     		y = 0.4814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545379638671875 × 2 - 1) × π
    0.09075927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28512868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28512868} λ = 0.28512868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116582539875977))-π/2
    2×atan(1.12365025259218)-π/2
    2×0.843557836052406-π/2
    1.68711567210481-1.57079632675     		φ = 0.11631935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28512868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.336670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11631935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.664608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17871 KachelY 15776 0.28512868 0.11631935 16.336670 6.664608
    Oben rechts KachelX + 1 17872 KachelY 15776 0.28532043 0.11631935 16.347656 6.664608
    Unten links KachelX 17871 KachelY + 1 15777 0.28512868 0.11612889 16.336670 6.653695
    Unten rechts KachelX + 1 17872 KachelY + 1 15777 0.28532043 0.11612889 16.347656 6.653695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11631935-0.11612889) × R
    0.000190460000000003 × 6371000     		dl = 1213.42066000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11631935-0.11612889) × R
    0.000190460000000003 × 6371000     		dr = 1213.42066000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28512868-0.28532043) × cos(0.11631935) × R
    0.000191749999999991 × 0.993242528721517 × 6371000     		do = 1213.3840578554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28512868-0.28532043) × cos(0.11612889) × R
    0.000191749999999991 × 0.993264614965239 × 6371000     		du = 1213.41103927761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11631935)-sin(0.11612889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993242528721517-0.993264614965239)×R²
    abs(0.28532043-0.28512868)×2.20862437222413e-05×R²
    0.000191749999999991×2.20862437222413e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.20862437222413e-05×40589641000000     		ar = 1472361.65867475m²