Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17870 / 23110
↖ ↑ ↗
← N 75.091394°
W130.918579°		 ← 78.58 m → N 75.091394°
W130.915832°		 →
↑
78.62 m
↓
↑
78.62 m
↓
N 75.090687°
W130.918579°		 ← 78.58 m →
6 178 m²		 N 75.090687°
W130.915832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136341094970703 y=0.176319122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136341094970703 × 217)
    floor (0.136341094970703 × 131072)
    floor (17870.5)     		tx = 17870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176319122314453 × 217)
    floor (0.176319122314453 × 131072)
    floor (23110.5)     		ty = 23110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17870 / 23110 ti = "17/17870/23110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17870/23110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17870 ÷ 217
    17870 ÷ 131072     		x = 0.136337280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23110 ÷ 217
    23110 ÷ 131072     		y = 0.176315307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136337280273438 × 2 - 1) × π
    -0.727325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28496026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.176315307617188 × 2 - 1) × π
    0.647369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0337709032805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28496026} λ = -2.28496026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0337709032805))-π/2
    2×atan(7.64285254517442)-π/2
    2×1.4406941917001-π/2
    2.8813883834002-1.57079632675     		φ = 1.31059206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28496026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.918579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31059206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.091394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17870 KachelY 23110 -2.28496026 1.31059206 -130.918579 75.091394
    Oben rechts KachelX + 1 17871 KachelY 23110 -2.28491232 1.31059206 -130.915832 75.091394
    Unten links KachelX 17870 KachelY + 1 23111 -2.28496026 1.31057972 -130.918579 75.090687
    Unten rechts KachelX + 1 17871 KachelY + 1 23111 -2.28491232 1.31057972 -130.915832 75.090687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31059206-1.31057972) × R
    1.23400000000551e-05 × 6371000     		dl = 78.6181400003509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31059206-1.31057972) × R
    1.23400000000551e-05 × 6371000     		dr = 78.6181400003509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28496026--2.28491232) × cos(1.31059206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.257277947910903 × 6371000     		do = 78.5793076263174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28496026--2.28491232) × cos(1.31057972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.257289872495385 × 6371000     		du = 78.582949701357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31059206)-sin(1.31057972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257277947910903-0.257289872495385)×R²
    abs(-2.28491232--2.28496026)×1.19245844819038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19245844819038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19245844819038e-05×40589641000000     		ar = 6177.90217467222m²