Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17870 / 15737
↖ ↑ ↗
← N  7.089991°
E 16.325684°		 ← 1 212.30 m → N  7.089991°
E 16.336670°		 →
↑
1 212.34 m
↓
↑
1 212.34 m
↓
N  7.079088°
E 16.325684°		 ← 1 212.33 m →
1 469 732 m²		 N  7.079088°
E 16.336670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545364379882812 y=0.480270385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545364379882812 × 215)
    floor (0.545364379882812 × 32768)
    floor (17870.5)     		tx = 17870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480270385742188 × 215)
    floor (0.480270385742188 × 32768)
    floor (15737.5)     		ty = 15737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17870 / 15737 ti = "15/17870/15737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17870/15737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17870 ÷ 215
    17870 ÷ 32768     		x = 0.54534912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15737 ÷ 215
    15737 ÷ 32768     		y = 0.480255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54534912109375 × 2 - 1) × π
    0.0906982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28493693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480255126953125 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.124060696216705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28493693} λ = 0.28493693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124060696216705))-π/2
    2×atan(1.13208458216503)-π/2
    2×0.847270002269455-π/2
    1.69454000453891-1.57079632675     		φ = 0.12374368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28493693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.325684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12374368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.089991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17870 KachelY 15737 0.28493693 0.12374368 16.325684 7.089991
    Oben rechts KachelX + 1 17871 KachelY 15737 0.28512868 0.12374368 16.336670 7.089991
    Unten links KachelX 17870 KachelY + 1 15738 0.28493693 0.12355339 16.325684 7.079088
    Unten rechts KachelX + 1 17871 KachelY + 1 15738 0.28512868 0.12355339 16.336670 7.079088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12374368-0.12355339) × R
    0.000190289999999996 × 6371000     		dl = 1212.33758999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12374368-0.12355339) × R
    0.000190289999999996 × 6371000     		dr = 1212.33758999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28493693-0.28512868) × cos(0.12374368) × R
    0.000191750000000046 × 0.992353515536671 × 6371000     		do = 1212.29800445537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28493693-0.28512868) × cos(0.12355339) × R
    0.000191750000000046 × 0.992376984706317 × 6371000     		du = 1212.32667531418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12374368)-sin(0.12355339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992353515536671-0.992376984706317)×R²
    abs(0.28512868-0.28493693)×2.34691696455736e-05×R²
    0.000191750000000046×2.34691696455736e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.34691696455736e-05×40589641000000     		ar = 1469731.82489811m²