Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1787 / 275
↖ ↑ ↗
← N 78.525573°
E134.121094°		 ← 3 888.29 m → N 78.525573°
E134.296875°		 →
↑
3 894.15 m
↓
↑
3 894.15 m
↓
N 78.490552°
E134.121094°		 ← 3 900 m →
15 164 371 m²		 N 78.490552°
E134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872802734375 y=0.134521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872802734375 × 211)
    floor (0.872802734375 × 2048)
    floor (1787.5)     		tx = 1787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134521484375 × 211)
    floor (0.134521484375 × 2048)
    floor (275.5)     		ty = 275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1787 / 275 ti = "11/1787/275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1787/275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1787 ÷ 211
    1787 ÷ 2048     		x = 0.87255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 275 ÷ 211
    275 ÷ 2048     		y = 0.13427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87255859375 × 2 - 1) × π
    0.7451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34085468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29790322018701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34085468} λ = 2.34085468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29790322018701))-π/2
    2×atan(9.95329070075068)-π/2
    2×1.47066305732131-π/2
    2.94132611464262-1.57079632675     		φ = 1.37052979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34085468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37052979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.525573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1787 KachelY 275 2.34085468 1.37052979 134.121094 78.525573
    Oben rechts KachelX + 1 1788 KachelY 275 2.34392264 1.37052979 134.296875 78.525573
    Unten links KachelX 1787 KachelY + 1 276 2.34085468 1.36991856 134.121094 78.490552
    Unten rechts KachelX + 1 1788 KachelY + 1 276 2.34392264 1.36991856 134.296875 78.490552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37052979-1.36991856) × R
    0.000611230000000074 × 6371000     		dl = 3894.14633000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37052979-1.36991856) × R
    0.000611230000000074 × 6371000     		dr = 3894.14633000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34085468-2.34392264) × cos(1.37052979) × R
    0.00306796000000009 × 0.198930547539492 × 6371000     		do = 3888.29114291113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34085468-2.34392264) × cos(1.36991856) × R
    0.00306796000000009 × 0.199529524048583 × 6371000     		du = 3899.99872168129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37052979)-sin(1.36991856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198930547539492-0.199529524048583)×R²
    abs(2.34392264-2.34085468)×0.000598976509090937×R²
    0.00306796000000009×0.000598976509090937×6371000²
    0.00306796000000009×0.000598976509090937×40589641000000     		ar = 15164370.6687003m²