Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1787 / 1414
↖ ↑ ↗
← N 48.574790°
W 22.939453°		 ← 6 466.26 m → N 48.574790°
W 22.851562°		 →
↑
6 469.94 m
↓
↑
6 469.94 m
↓
N 48.516604°
W 22.939453°		 ← 6 473.70 m →
41 860 386 m²		 N 48.516604°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4364013671875 y=0.3453369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4364013671875 × 212)
    floor (0.4364013671875 × 4096)
    floor (1787.5)     		tx = 1787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3453369140625 × 212)
    floor (0.3453369140625 × 4096)
    floor (1414.5)     		ty = 1414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1787 / 1414 ti = "12/1787/1414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1787/1414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1787 ÷ 212
    1787 ÷ 4096     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1414 ÷ 212
    1414 ÷ 4096     		y = 0.34521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34521484375 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972543819491699))-π/2
    2×atan(2.64466345622225)-π/2
    2×1.20929317209337-π/2
    2.41858634418674-1.57079632675     		φ = 0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1787 KachelY 1414 -0.40036899 0.84779002 -22.939453 48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 1788 KachelY 1414 -0.39883500 0.84779002 -22.851562 48.574790
    Unten links KachelX 1787 KachelY + 1 1415 -0.40036899 0.84677449 -22.939453 48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 1788 KachelY + 1 1415 -0.39883500 0.84677449 -22.851562 48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84779002-0.84677449) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dl = 6469.94162999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84779002-0.84677449) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dr = 6469.94162999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39883500) × cos(0.84779002) × R
    0.00153398999999999 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 6466.25904979334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39883500) × cos(0.84677449) × R
    0.00153398999999999 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 6473.6975472561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84779002)-sin(0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.662402970941446)×R²
    abs(-0.39883500--0.40036899)×0.000761123420225052×R²
    0.00153398999999999×0.000761123420225052×6371000²
    0.00153398999999999×0.000761123420225052×40589641000000     		ar = 41860385.5363718m²