Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17868 / 15740
↖ ↑ ↗
← N  7.057282°
E 16.303711°		 ← 1 212.32 m → N  7.057282°
E 16.314697°		 →
↑
1 212.34 m
↓
↑
1 212.34 m
↓
N  7.046379°
E 16.303711°		 ← 1 212.35 m →
1 469 759 m²		 N  7.046379°
E 16.314697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545303344726562 y=0.480361938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545303344726562 × 215)
    floor (0.545303344726562 × 32768)
    floor (17868.5)     		tx = 17868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480361938476562 × 215)
    floor (0.480361938476562 × 32768)
    floor (15740.5)     		ty = 15740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17868 / 15740 ti = "15/17868/15740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17868/15740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17868 ÷ 215
    17868 ÷ 32768     		x = 0.5452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15740 ÷ 215
    15740 ÷ 32768     		y = 0.4803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5452880859375 × 2 - 1) × π
    0.090576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28455344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4803466796875 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.123485453421265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28455344} λ = 0.28455344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.123485453421265))-π/2
    2×atan(1.13143354593521)-π/2
    2×0.84698457004682-π/2
    1.69396914009364-1.57079632675     		φ = 0.12317281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28455344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.303711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12317281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.057282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17868 KachelY 15740 0.28455344 0.12317281 16.303711 7.057282
    Oben rechts KachelX + 1 17869 KachelY 15740 0.28474518 0.12317281 16.314697 7.057282
    Unten links KachelX 17868 KachelY + 1 15741 0.28455344 0.12298252 16.303711 7.046379
    Unten rechts KachelX + 1 17869 KachelY + 1 15741 0.28474518 0.12298252 16.314697 7.046379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12317281-0.12298252) × R
    0.000190289999999996 × 6371000     		dl = 1212.33758999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12317281-0.12298252) × R
    0.000190289999999996 × 6371000     		dr = 1212.33758999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28455344-0.28474518) × cos(0.12317281) × R
    0.000191739999999996 × 0.992423815242002 × 6371000     		do = 1212.32065801308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28455344-0.28474518) × cos(0.12298252) × R
    0.000191739999999996 × 0.992447176606346 × 6371000     		du = 1212.34919568435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12317281)-sin(0.12298252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992423815242002-0.992447176606346)×R²
    abs(0.28474518-0.28455344)×2.33613643439989e-05×R²
    0.000191739999999996×2.33613643439989e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.33613643439989e-05×40589641000000     		ar = 1469759.20792366m²