Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17867 / 15741
↖ ↑ ↗
← N  7.046379°
E 16.292725°		 ← 1 212.41 m → N  7.046379°
E 16.303711°		 →
↑
1 212.47 m
↓
↑
1 212.47 m
↓
N  7.035475°
E 16.292725°		 ← 1 212.44 m →
1 470 025 m²		 N  7.035475°
E 16.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545272827148438 y=0.480392456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545272827148438 × 215)
    floor (0.545272827148438 × 32768)
    floor (17867.5)     		tx = 17867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480392456054688 × 215)
    floor (0.480392456054688 × 32768)
    floor (15741.5)     		ty = 15741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17867 / 15741 ti = "15/17867/15741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17867/15741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17867 ÷ 215
    17867 ÷ 32768     		x = 0.545257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15741 ÷ 215
    15741 ÷ 32768     		y = 0.480377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545257568359375 × 2 - 1) × π
    0.09051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28436169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480377197265625 × 2 - 1) × π
    0.03924560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.123293705822784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28436169} λ = 0.28436169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.123293705822784))-π/2
    2×atan(1.1312166170684)-π/2
    2×0.846889421485039-π/2
    1.69377884297008-1.57079632675     		φ = 0.12298252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28436169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.292725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12298252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.046379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17867 KachelY 15741 0.28436169 0.12298252 16.292725 7.046379
    Oben rechts KachelX + 1 17868 KachelY 15741 0.28455344 0.12298252 16.303711 7.046379
    Unten links KachelX 17867 KachelY + 1 15742 0.28436169 0.12279221 16.292725 7.035475
    Unten rechts KachelX + 1 17868 KachelY + 1 15742 0.28455344 0.12279221 16.303711 7.035475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12298252-0.12279221) × R
    0.000190309999999999 × 6371000     		dl = 1212.46500999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12298252-0.12279221) × R
    0.000190309999999999 × 6371000     		dr = 1212.46500999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28436169-0.28455344) × cos(0.12298252) × R
    0.000191749999999991 × 0.992447176606346 × 6371000     		do = 1212.41242449393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28436169-0.28455344) × cos(0.12279221) × R
    0.000191749999999991 × 0.992470504483574 × 6371000     		du = 1212.44092274437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12298252)-sin(0.12279221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992447176606346-0.992470504483574)×R²
    abs(0.28455344-0.28436169)×2.33278772274748e-05×R²
    0.000191749999999991×2.33278772274748e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.33278772274748e-05×40589641000000     		ar = 1470024.92339065m²