Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17867 / 15736
↖ ↑ ↗
← N  7.100893°
E 16.292725°		 ← 1 212.27 m → N  7.100893°
E 16.303711°		 →
↑
1 212.27 m
↓
↑
1 212.27 m
↓
N  7.089991°
E 16.292725°		 ← 1 212.30 m →
1 469 620 m²		 N  7.089991°
E 16.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545272827148438 y=0.480239868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545272827148438 × 215)
    floor (0.545272827148438 × 32768)
    floor (17867.5)     		tx = 17867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480239868164062 × 215)
    floor (0.480239868164062 × 32768)
    floor (15736.5)     		ty = 15736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17867 / 15736 ti = "15/17867/15736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17867/15736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17867 ÷ 215
    17867 ÷ 32768     		x = 0.545257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15736 ÷ 215
    15736 ÷ 32768     		y = 0.480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545257568359375 × 2 - 1) × π
    0.09051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28436169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480224609375 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.124252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28436169} λ = 0.28436169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124252443815186))-π/2
    2×atan(1.13230167747802)-π/2
    2×0.847365141844791-π/2
    1.69473028368958-1.57079632675     		φ = 0.12393396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28436169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.292725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12393396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.100893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17867 KachelY 15736 0.28436169 0.12393396 16.292725 7.100893
    Oben rechts KachelX + 1 17868 KachelY 15736 0.28455344 0.12393396 16.303711 7.100893
    Unten links KachelX 17867 KachelY + 1 15737 0.28436169 0.12374368 16.292725 7.089991
    Unten rechts KachelX + 1 17868 KachelY + 1 15737 0.28455344 0.12374368 16.303711 7.089991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12393396-0.12374368) × R
    0.000190280000000001 × 6371000     		dl = 1212.27388000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12393396-0.12374368) × R
    0.000190280000000001 × 6371000     		dr = 1212.27388000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28436169-0.28455344) × cos(0.12393396) × R
    0.000191749999999991 × 0.992330011669792 × 6371000     		do = 1212.26929120872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28436169-0.28455344) × cos(0.12374368) × R
    0.000191749999999991 × 0.992353515536671 × 6371000     		du = 1212.29800445502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12393396)-sin(0.12374368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992330011669792-0.992353515536671)×R²
    abs(0.28455344-0.28436169)×2.35038668787713e-05×R²
    0.000191749999999991×2.35038668787713e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.35038668787713e-05×40589641000000     		ar = 1469619.80585188m²