Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17865 / 52377
↖ ↑ ↗
← S 72.648124°
W 81.864624°		 ← 182.16 m → S 72.648124°
W 81.859131°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 72.649762°
W 81.864624°		 ← 182.14 m →
33 179 m²		 S 72.649762°
W 81.859131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272605895996094 y=0.799217224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272605895996094 × 216)
    floor (0.272605895996094 × 65536)
    floor (17865.5)     		tx = 17865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799217224121094 × 216)
    floor (0.799217224121094 × 65536)
    floor (52377.5)     		ty = 52377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17865 / 52377 ti = "16/17865/52377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17865/52377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17865 ÷ 216
    17865 ÷ 65536     		x = 0.272598266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52377 ÷ 216
    52377 ÷ 65536     		y = 0.799209594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272598266601562 × 2 - 1) × π
    -0.454803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.42880723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799209594726562 × 2 - 1) × π
    -0.598419189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87998932929936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42880723} λ = -1.42880723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87998932929936))-π/2
    2×atan(0.15259173400891)-π/2
    2×0.151423682032881-π/2
    0.302847364065762-1.57079632675     		φ = -1.26794896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42880723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.864624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26794896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.648124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17865 KachelY 52377 -1.42880723 -1.26794896 -81.864624 -72.648124
    Oben rechts KachelX + 1 17866 KachelY 52377 -1.42871136 -1.26794896 -81.859131 -72.648124
    Unten links KachelX 17865 KachelY + 1 52378 -1.42880723 -1.26797755 -81.864624 -72.649762
    Unten rechts KachelX + 1 17866 KachelY + 1 52378 -1.42871136 -1.26797755 -81.859131 -72.649762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26794896--1.26797755) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26794896--1.26797755) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42880723--1.42871136) × cos(-1.26794896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298239198418887 × 6371000     		do = 182.160854928855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42880723--1.42871136) × cos(-1.26797755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298211909394648 × 6371000     		du = 182.144187126595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26794896)-sin(-1.26797755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298239198418887-0.298211909394648)×R²
    abs(-1.42871136--1.42880723)×2.72890242391521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72890242391521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72890242391521e-05×40589641000000     		ar = 33178.5152128935m²