Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17864 / 23112
↖ ↑ ↗
← N 75.089980°
W130.935059°		 ← 78.59 m → N 75.089980°
W130.932312°		 →
↑
78.62 m
↓
↑
78.62 m
↓
N 75.089273°
W130.935059°		 ← 78.59 m →
6 178 m²		 N 75.089273°
W130.932312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136295318603516 y=0.176334381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136295318603516 × 217)
    floor (0.136295318603516 × 131072)
    floor (17864.5)     		tx = 17864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176334381103516 × 217)
    floor (0.176334381103516 × 131072)
    floor (23112.5)     		ty = 23112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17864 / 23112 ti = "17/17864/23112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17864/23112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17864 ÷ 217
    17864 ÷ 131072     		x = 0.13629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23112 ÷ 217
    23112 ÷ 131072     		y = 0.17633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.7274169921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28524788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17633056640625 × 2 - 1) × π
    0.6473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.03367502948126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28524788} λ = -2.28524788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03367502948126))-π/2
    2×atan(7.64211983098849)-π/2
    2×1.44068185802146-π/2
    2.88136371604291-1.57079632675     		φ = 1.31056739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28524788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.935059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31056739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.089980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17864 KachelY 23112 -2.28524788 1.31056739 -130.935059 75.089980
    Oben rechts KachelX + 1 17865 KachelY 23112 -2.28519994 1.31056739 -130.932312 75.089980
    Unten links KachelX 17864 KachelY + 1 23113 -2.28524788 1.31055505 -130.935059 75.089273
    Unten rechts KachelX + 1 17865 KachelY + 1 23113 -2.28519994 1.31055505 -130.932312 75.089273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31056739-1.31055505) × R
    1.23400000000551e-05 × 6371000     		dl = 78.6181400003509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31056739-1.31055505) × R
    1.23400000000551e-05 × 6371000     		dr = 78.6181400003509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28524788--2.28519994) × cos(1.31056739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.257301787377377 × 6371000     		do = 78.5865888130064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28524788--2.28519994) × cos(1.31055505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25731371188353 × 6371000     		du = 78.5902308641225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31056739)-sin(1.31055505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257301787377377-0.25731371188353)×R²
    abs(-2.28519994--2.28524788)×1.19245061538931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19245061538931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19245061538931e-05×40589641000000     		ar = 6178.47460715905m²