Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17862 / 15749
↖ ↑ ↗
← N  6.959144°
E 16.237793°		 ← 1 212.64 m → N  6.959144°
E 16.248779°		 →
↑
1 212.66 m
↓
↑
1 212.66 m
↓
N  6.948239°
E 16.237793°		 ← 1 212.67 m →
1 470 531 m²		 N  6.948239°
E 16.248779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545120239257812 y=0.480636596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545120239257812 × 215)
    floor (0.545120239257812 × 32768)
    floor (17862.5)     		tx = 17862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480636596679688 × 215)
    floor (0.480636596679688 × 32768)
    floor (15749.5)     		ty = 15749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17862 / 15749 ti = "15/17862/15749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17862/15749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17862 ÷ 215
    17862 ÷ 32768     		x = 0.54510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15749 ÷ 215
    15749 ÷ 32768     		y = 0.480621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54510498046875 × 2 - 1) × π
    0.0902099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28340295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480621337890625 × 2 - 1) × π
    0.03875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.121759725034943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28340295} λ = 0.28340295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121759725034943))-π/2
    2×atan(1.12948268276189)-π/2
    2×0.846128152703197-π/2
    1.69225630540639-1.57079632675     		φ = 0.12145998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28340295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.237793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12145998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.959144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17862 KachelY 15749 0.28340295 0.12145998 16.237793 6.959144
    Oben rechts KachelX + 1 17863 KachelY 15749 0.28359470 0.12145998 16.248779 6.959144
    Unten links KachelX 17862 KachelY + 1 15750 0.28340295 0.12126964 16.237793 6.948239
    Unten rechts KachelX + 1 17863 KachelY + 1 15750 0.28359470 0.12126964 16.248779 6.948239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12145998-0.12126964) × R
    0.000190339999999997 × 6371000     		dl = 1212.65613999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12145998-0.12126964) × R
    0.000190339999999997 × 6371000     		dr = 1212.65613999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28340295-0.28359470) × cos(0.12145998) × R
    0.000191749999999991 × 0.992632800381293 × 6371000     		do = 1212.63918978314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28340295-0.28359470) × cos(0.12126964) × R
    0.000191749999999991 × 0.99265584429127 × 6371000     		du = 1212.66734112804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12145998)-sin(0.12126964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992632800381293-0.99265584429127)×R²
    abs(0.28359470-0.28340295)×2.30439099764279e-05×R²
    0.000191749999999991×2.30439099764279e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.30439099764279e-05×40589641000000     		ar = 1470531.43248541m²