Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17861 / 15750
↖ ↑ ↗
← N  6.948239°
E 16.226806°		 ← 1 212.67 m → N  6.948239°
E 16.237793°		 →
↑
1 212.66 m
↓
↑
1 212.66 m
↓
N  6.937333°
E 16.226806°		 ← 1 212.70 m →
1 470 566 m²		 N  6.937333°
E 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545089721679688 y=0.480667114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545089721679688 × 215)
    floor (0.545089721679688 × 32768)
    floor (17861.5)     		tx = 17861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480667114257812 × 215)
    floor (0.480667114257812 × 32768)
    floor (15750.5)     		ty = 15750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17861 / 15750 ti = "15/17861/15750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17861/15750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17861 ÷ 215
    17861 ÷ 32768     		x = 0.545074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15750 ÷ 215
    15750 ÷ 32768     		y = 0.48065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545074462890625 × 2 - 1) × π
    0.09014892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28321120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48065185546875 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.121567977436462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28321120} λ = 0.28321120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121567977436462))-π/2
    2×atan(1.12926612793255)-π/2
    2×0.846032984120438-π/2
    1.69206596824088-1.57079632675     		φ = 0.12126964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28321120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.226806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12126964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.948239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17861 KachelY 15750 0.28321120 0.12126964 16.226806 6.948239
    Oben rechts KachelX + 1 17862 KachelY 15750 0.28340295 0.12126964 16.237793 6.948239
    Unten links KachelX 17861 KachelY + 1 15751 0.28321120 0.12107930 16.226806 6.937333
    Unten rechts KachelX + 1 17862 KachelY + 1 15751 0.28340295 0.12107930 16.237793 6.937333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12126964-0.12107930) × R
    0.000190339999999997 × 6371000     		dl = 1212.65613999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12126964-0.12107930) × R
    0.000190339999999997 × 6371000     		dr = 1212.65613999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28321120-0.28340295) × cos(0.12126964) × R
    0.000191749999999991 × 0.99265584429127 × 6371000     		do = 1212.66734112804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28321120-0.28340295) × cos(0.12107930) × R
    0.000191749999999991 × 0.992678852238004 × 6371000     		du = 1212.69544853884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12126964)-sin(0.12107930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99265584429127-0.992678852238004)×R²
    abs(0.28340295-0.28321120)×2.30079467345989e-05×R²
    0.000191749999999991×2.30079467345989e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.30079467345989e-05×40589641000000     		ar = 1470565.54374836m²