Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17861 / 15661
↖ ↑ ↗
← N  7.917793°
E 16.226806°		 ← 1 209.99 m → N  7.917793°
E 16.237793°		 →
↑
1 209.98 m
↓
↑
1 209.98 m
↓
N  7.906912°
E 16.226806°		 ← 1 210.02 m →
1 464 087 m²		 N  7.906912°
E 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545089721679688 y=0.477951049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545089721679688 × 215)
    floor (0.545089721679688 × 32768)
    floor (17861.5)     		tx = 17861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477951049804688 × 215)
    floor (0.477951049804688 × 32768)
    floor (15661.5)     		ty = 15661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17861 / 15661 ti = "15/17861/15661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17861/15661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17861 ÷ 215
    17861 ÷ 32768     		x = 0.545074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15661 ÷ 215
    15661 ÷ 32768     		y = 0.477935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545074462890625 × 2 - 1) × π
    0.09014892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28321120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477935791015625 × 2 - 1) × π
    0.04412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.138633513701202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28321120} λ = 0.28321120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138633513701202))-π/2
    2×atan(1.14870303892661)-π/2
    2×0.854493945143425-π/2
    1.70898789028685-1.57079632675     		φ = 0.13819156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28321120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.226806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13819156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.917793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17861 KachelY 15661 0.28321120 0.13819156 16.226806 7.917793
    Oben rechts KachelX + 1 17862 KachelY 15661 0.28340295 0.13819156 16.237793 7.917793
    Unten links KachelX 17861 KachelY + 1 15662 0.28321120 0.13800164 16.226806 7.906912
    Unten rechts KachelX + 1 17862 KachelY + 1 15662 0.28340295 0.13800164 16.237793 7.906912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13819156-0.13800164) × R
    0.000189919999999982 × 6371000     		dl = 1209.98031999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13819156-0.13800164) × R
    0.000189919999999982 × 6371000     		dr = 1209.98031999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28321120-0.28340295) × cos(0.13819156) × R
    0.000191749999999991 × 0.990466732197229 × 6371000     		do = 1209.99303587131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28321120-0.28340295) × cos(0.13800164) × R
    0.000191749999999991 × 0.99049287622086 × 6371000     		du = 1210.02497443673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13819156)-sin(0.13800164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990466732197229-0.99049287622086)×R²
    abs(0.28340295-0.28321120)×2.61440236306587e-05×R²
    0.000191749999999991×2.61440236306587e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.61440236306587e-05×40589641000000     		ar = 1464087.08765987m²