Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17860 / 15763
↖ ↑ ↗
← N  6.806444°
E 16.215821°		 ← 1 212.97 m → N  6.806444°
E 16.226806°		 →
↑
1 213.04 m
↓
↑
1 213.04 m
↓
N  6.795535°
E 16.215821°		 ← 1 212.99 m →
1 471 391 m²		 N  6.795535°
E 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545059204101562 y=0.481063842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545059204101562 × 215)
    floor (0.545059204101562 × 32768)
    floor (17860.5)     		tx = 17860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481063842773438 × 215)
    floor (0.481063842773438 × 32768)
    floor (15763.5)     		ty = 15763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17860 / 15763 ti = "15/17860/15763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17860/15763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17860 ÷ 215
    17860 ÷ 32768     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15763 ÷ 215
    15763 ÷ 32768     		y = 0.481048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481048583984375 × 2 - 1) × π
    0.03790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.119075258656219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.119075258656219))-π/2
    2×atan(1.12645469056469)-π/2
    2×0.844795592892023-π/2
    1.68959118578405-1.57079632675     		φ = 0.11879486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11879486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.806444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17860 KachelY 15763 0.28301946 0.11879486 16.215821 6.806444
    Oben rechts KachelX + 1 17861 KachelY 15763 0.28321120 0.11879486 16.226806 6.806444
    Unten links KachelX 17860 KachelY + 1 15764 0.28301946 0.11860446 16.215821 6.795535
    Unten rechts KachelX + 1 17861 KachelY + 1 15764 0.28321120 0.11860446 16.226806 6.795535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11879486-0.11860446) × R
    0.000190400000000007 × 6371000     		dl = 1213.03840000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11879486-0.11860446) × R
    0.000190400000000007 × 6371000     		dr = 1213.03840000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28321120) × cos(0.11879486) × R
    0.000191739999999996 × 0.992952184829547 × 6371000     		do = 1212.96610137731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28321120) × cos(0.11860446) × R
    0.000191739999999996 × 0.992974732210316 × 6371000     		du = 1212.99364470615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11879486)-sin(0.11860446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992952184829547-0.992974732210316)×R²
    abs(0.28321120-0.28301946)×2.25473807686782e-05×R²
    0.000191739999999996×2.25473807686782e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.25473807686782e-05×40589641000000     		ar = 1471391.1688719m²