Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17860 / 15748
↖ ↑ ↗
← N  6.970049°
E 16.215821°		 ← 1 212.55 m → N  6.970049°
E 16.226806°		 →
↑
1 212.59 m
↓
↑
1 212.59 m
↓
N  6.959144°
E 16.215821°		 ← 1 212.58 m →
1 470 343 m²		 N  6.959144°
E 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545059204101562 y=0.480606079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545059204101562 × 215)
    floor (0.545059204101562 × 32768)
    floor (17860.5)     		tx = 17860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480606079101562 × 215)
    floor (0.480606079101562 × 32768)
    floor (15748.5)     		ty = 15748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17860 / 15748 ti = "15/17860/15748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17860/15748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17860 ÷ 215
    17860 ÷ 32768     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15748 ÷ 215
    15748 ÷ 32768     		y = 0.4805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4805908203125 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.121951472633423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121951472633423))-π/2
    2×atan(1.12969927911909)-π/2
    2×0.846223319074984-π/2
    1.69244663814997-1.57079632675     		φ = 0.12165031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12165031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.970049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17860 KachelY 15748 0.28301946 0.12165031 16.215821 6.970049
    Oben rechts KachelX + 1 17861 KachelY 15748 0.28321120 0.12165031 16.226806 6.970049
    Unten links KachelX 17860 KachelY + 1 15749 0.28301946 0.12145998 16.215821 6.959144
    Unten rechts KachelX + 1 17861 KachelY + 1 15749 0.28321120 0.12145998 16.226806 6.959144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12165031-0.12145998) × R
    0.000190330000000002 × 6371000     		dl = 1212.59243000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12165031-0.12145998) × R
    0.000190330000000002 × 6371000     		dr = 1212.59243000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28321120) × cos(0.12165031) × R
    0.000191739999999996 × 0.992609721722415 × 6371000     		do = 1212.54775682228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28321120) × cos(0.12145998) × R
    0.000191739999999996 × 0.992632800381293 × 6371000     		du = 1212.57594914746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12165031)-sin(0.12145998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992609721722415-0.992632800381293)×R²
    abs(0.28321120-0.28301946)×2.3078658878295e-05×R²
    0.000191739999999996×2.3078658878295e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.3078658878295e-05×40589641000000     		ar = 1470343.32827498m²