Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1786 / 282
↖ ↑ ↗
← N 78.278202°
E133.945312°		 ← 3 970.96 m → N 78.278202°
E134.121094°		 →
↑
3 976.97 m
↓
↑
3 976.97 m
↓
N 78.242436°
E133.945312°		 ← 3 982.90 m →
15 816 127 m²		 N 78.242436°
E134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872314453125 y=0.137939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872314453125 × 211)
    floor (0.872314453125 × 2048)
    floor (1786.5)     		tx = 1786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137939453125 × 211)
    floor (0.137939453125 × 2048)
    floor (282.5)     		ty = 282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1786 / 282 ti = "11/1786/282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1786/282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1786 ÷ 211
    1786 ÷ 2048     		x = 0.8720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 282 ÷ 211
    282 ÷ 2048     		y = 0.1376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8720703125 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33778672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    0.724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27642748915723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33778672} λ = 2.33778672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27642748915723))-π/2
    2×atan(9.74181542760384)-π/2
    2×1.46850433735916-π/2
    2.93700867471832-1.57079632675     		φ = 1.36621235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33778672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36621235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.278202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1786 KachelY 282 2.33778672 1.36621235 133.945312 78.278202
    Oben rechts KachelX + 1 1787 KachelY 282 2.34085468 1.36621235 134.121094 78.278202
    Unten links KachelX 1786 KachelY + 1 283 2.33778672 1.36558812 133.945312 78.242436
    Unten rechts KachelX + 1 1787 KachelY + 1 283 2.34085468 1.36558812 134.121094 78.242436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36621235-1.36558812) × R
    0.000624230000000114 × 6371000     		dl = 3976.96933000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36621235-1.36558812) × R
    0.000624230000000114 × 6371000     		dr = 3976.96933000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33778672-2.34085468) × cos(1.36621235) × R
    0.00306796000000009 × 0.203159830211532 × 6371000     		do = 3970.95658850487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33778672-2.34085468) × cos(1.36558812) × R
    0.00306796000000009 × 0.203771002640575 × 6371000     		du = 3982.90254839909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36621235)-sin(1.36558812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203159830211532-0.203771002640575)×R²
    abs(2.34085468-2.33778672)×0.000611172429043516×R²
    0.00306796000000009×0.000611172429043516×6371000²
    0.00306796000000009×0.000611172429043516×40589641000000     		ar = 15816127.4348921m²