Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17859 / 15751
↖ ↑ ↗
← N  6.937333°
E 16.204834°		 ← 1 212.70 m → N  6.937333°
E 16.215821°		 →
↑
1 212.72 m
↓
↑
1 212.72 m
↓
N  6.926427°
E 16.204834°		 ← 1 212.72 m →
1 470 677 m²		 N  6.926427°
E 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545028686523438 y=0.480697631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545028686523438 × 215)
    floor (0.545028686523438 × 32768)
    floor (17859.5)     		tx = 17859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480697631835938 × 215)
    floor (0.480697631835938 × 32768)
    floor (15751.5)     		ty = 15751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17859 / 15751 ti = "15/17859/15751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17859/15751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17859 ÷ 215
    17859 ÷ 32768     		x = 0.545013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15751 ÷ 215
    15751 ÷ 32768     		y = 0.480682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545013427734375 × 2 - 1) × π
    0.09002685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28282771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480682373046875 × 2 - 1) × π
    0.03863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.121376229837982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28282771} λ = 0.28282771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121376229837982))-π/2
    2×atan(1.12904961462309)-π/2
    2×0.845937813330103-π/2
    1.69187562666021-1.57079632675     		φ = 0.12107930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28282771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.204834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12107930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.937333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17859 KachelY 15751 0.28282771 0.12107930 16.204834 6.937333
    Oben rechts KachelX + 1 17860 KachelY 15751 0.28301946 0.12107930 16.215821 6.937333
    Unten links KachelX 17859 KachelY + 1 15752 0.28282771 0.12088895 16.204834 6.926427
    Unten rechts KachelX + 1 17860 KachelY + 1 15752 0.28301946 0.12088895 16.215821 6.926427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12107930-0.12088895) × R
    0.000190350000000006 × 6371000     		dl = 1212.71985000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12107930-0.12088895) × R
    0.000190350000000006 × 6371000     		dr = 1212.71985000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28282771-0.28301946) × cos(0.12107930) × R
    0.000191749999999991 × 0.992678852238004 × 6371000     		do = 1212.69544853884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28282771-0.28301946) × cos(0.12088895) × R
    0.000191749999999991 × 0.992701825426611 × 6371000     		du = 1212.72351348774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12107930)-sin(0.12088895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992678852238004-0.992701825426611)×R²
    abs(0.28301946-0.28282771)×2.29731886064455e-05×R²
    0.000191749999999991×2.29731886064455e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.29731886064455e-05×40589641000000     		ar = 1470676.86434857m²