Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17858 / 15665
↖ ↑ ↗
← N  7.874265°
E 16.193848°		 ← 1 210.12 m → N  7.874265°
E 16.204834°		 →
↑
1 210.17 m
↓
↑
1 210.17 m
↓
N  7.863382°
E 16.193848°		 ← 1 210.15 m →
1 464 473 m²		 N  7.863382°
E 16.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544998168945312 y=0.478073120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544998168945312 × 215)
    floor (0.544998168945312 × 32768)
    floor (17858.5)     		tx = 17858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478073120117188 × 215)
    floor (0.478073120117188 × 32768)
    floor (15665.5)     		ty = 15665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17858 / 15665 ti = "15/17858/15665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17858/15665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17858 ÷ 215
    17858 ÷ 32768     		x = 0.54498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15665 ÷ 215
    15665 ÷ 32768     		y = 0.478057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54498291015625 × 2 - 1) × π
    0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478057861328125 × 2 - 1) × π
    0.04388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.137866523307281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28263596} λ = 0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137866523307281))-π/2
    2×atan(1.14782233252013)-π/2
    2×0.85411408587902-π/2
    1.70822817175804-1.57079632675     		φ = 0.13743185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13743185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.874265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17858 KachelY 15665 0.28263596 0.13743185 16.193848 7.874265
    Oben rechts KachelX + 1 17859 KachelY 15665 0.28282771 0.13743185 16.204834 7.874265
    Unten links KachelX 17858 KachelY + 1 15666 0.28263596 0.13724190 16.193848 7.863382
    Unten rechts KachelX + 1 17859 KachelY + 1 15666 0.28282771 0.13724190 16.204834 7.863382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13743185-0.13724190) × R
    0.000189949999999994 × 6371000     		dl = 1210.17144999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13743185-0.13724190) × R
    0.000189949999999994 × 6371000     		dr = 1210.17144999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28263596-0.28282771) × cos(0.13743185) × R
    0.000191749999999991 × 0.990571098037847 × 6371000     		do = 1210.12053327857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28263596-0.28282771) × cos(0.13724190) × R
    0.000191749999999991 × 0.990597103247781 × 6371000     		du = 1210.15230226373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13743185)-sin(0.13724190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990571098037847-0.990597103247781)×R²
    abs(0.28282771-0.28263596)×2.60052099337882e-05×R²
    0.000191749999999991×2.60052099337882e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.60052099337882e-05×40589641000000     		ar = 1464472.54779529m²