Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17857 / 19005
↖ ↑ ↗
← S 27.654338°
E 16.182861°		 ← 1 082.08 m → S 27.654338°
E 16.193848°		 →
↑
1 082.05 m
↓
↑
1 082.05 m
↓
S 27.664069°
E 16.182861°		 ← 1 081.99 m →
1 170 817 m²		 S 27.664069°
E 16.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544967651367188 y=0.580001831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544967651367188 × 215)
    floor (0.544967651367188 × 32768)
    floor (17857.5)     		tx = 17857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580001831054688 × 215)
    floor (0.580001831054688 × 32768)
    floor (19005.5)     		ty = 19005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17857 / 19005 ti = "15/17857/19005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17857/19005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17857 ÷ 215
    17857 ÷ 32768     		x = 0.544952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19005 ÷ 215
    19005 ÷ 32768     		y = 0.579986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544952392578125 × 2 - 1) × π
    0.08990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28244421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.15997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.502570455616669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28244421} λ = 0.28244421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502570455616669))-π/2
    2×atan(0.604973601603396)-π/2
    2×0.544068537193056-π/2
    1.08813707438611-1.57079632675     		φ = -0.48265925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28244421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.182861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48265925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.654338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17857 KachelY 19005 0.28244421 -0.48265925 16.182861 -27.654338
    Oben rechts KachelX + 1 17858 KachelY 19005 0.28263596 -0.48265925 16.193848 -27.654338
    Unten links KachelX 17857 KachelY + 1 19006 0.28244421 -0.48282909 16.182861 -27.664069
    Unten rechts KachelX + 1 17858 KachelY + 1 19006 0.28263596 -0.48282909 16.193848 -27.664069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48265925--0.48282909) × R
    0.000169840000000032 × 6371000     		dl = 1082.05064000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48265925--0.48282909) × R
    0.000169840000000032 × 6371000     		dr = 1082.05064000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28244421-0.28263596) × cos(-0.48265925) × R
    0.000191750000000046 × 0.885763801714548 × 6371000     		do = 1082.08382640397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28244421-0.28263596) × cos(-0.48282909) × R
    0.000191750000000046 × 0.885684960033714 × 6371000     		du = 1081.98751031213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48265925)-sin(-0.48282909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885763801714548-0.885684960033714)×R²
    abs(0.28263596-0.28244421)×7.88416808339409e-05×R²
    0.000191750000000046×7.88416808339409e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.88416808339409e-05×40589641000000     		ar = 1170817.39026419m²