Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17856 / 23104
↖ ↑ ↗
← N 75.095633°
W130.957031°		 ← 78.54 m → N 75.095633°
W130.954285°		 →
↑
78.55 m
↓
↑
78.55 m
↓
N 75.094927°
W130.957031°		 ← 78.54 m →
6 170 m²		 N 75.094927°
W130.954285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136234283447266 y=0.176273345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136234283447266 × 217)
    floor (0.136234283447266 × 131072)
    floor (17856.5)     		tx = 17856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176273345947266 × 217)
    floor (0.176273345947266 × 131072)
    floor (23104.5)     		ty = 23104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17856 / 23104 ti = "17/17856/23104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17856/23104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17856 ÷ 217
    17856 ÷ 131072     		x = 0.13623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23104 ÷ 217
    23104 ÷ 131072     		y = 0.17626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28563137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17626953125 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03405852467822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28563137} λ = -2.28563137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03405852467822))-π/2
    2×atan(7.64505110926791)-π/2
    2×1.44073118588072-π/2
    2.88146237176145-1.57079632675     		φ = 1.31066605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28563137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31066605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.095633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17856 KachelY 23104 -2.28563137 1.31066605 -130.957031 75.095633
    Oben rechts KachelX + 1 17857 KachelY 23104 -2.28558344 1.31066605 -130.954285 75.095633
    Unten links KachelX 17856 KachelY + 1 23105 -2.28563137 1.31065372 -130.957031 75.094927
    Unten rechts KachelX + 1 17857 KachelY + 1 23105 -2.28558344 1.31065372 -130.954285 75.094927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31066605-1.31065372) × R
    1.23300000001159e-05 × 6371000     		dl = 78.5544300007381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31066605-1.31065372) × R
    1.23300000001159e-05 × 6371000     		dr = 78.5544300007381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28563137--2.28558344) × cos(1.31066605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.257206447899179 × 6371000     		do = 78.5410830596307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28563137--2.28558344) × cos(1.31065372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.257218363055005 × 6371000     		du = 78.5447214958015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31066605)-sin(1.31065372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257206447899179-0.257218363055005)×R²
    abs(-2.28558344--2.28563137)×1.19151558258812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.19151558258812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.19151558258812e-05×40589641000000     		ar = 6169.89291902233m²