Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17855 / 19008
↖ ↑ ↗
← S 27.683528°
E 16.160889°		 ← 1 081.74 m → S 27.683528°
E 16.171875°		 →
↑
1 081.73 m
↓
↑
1 081.73 m
↓
S 27.693256°
E 16.160889°		 ← 1 081.64 m →
1 170 099 m²		 S 27.693256°
E 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544906616210938 y=0.580093383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544906616210938 × 215)
    floor (0.544906616210938 × 32768)
    floor (17855.5)     		tx = 17855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580093383789062 × 215)
    floor (0.580093383789062 × 32768)
    floor (19008.5)     		ty = 19008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17855 / 19008 ti = "15/17855/19008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17855/19008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17855 ÷ 215
    17855 ÷ 32768     		x = 0.544891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19008 ÷ 215
    19008 ÷ 32768     		y = 0.580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544891357421875 × 2 - 1) × π
    0.08978271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28206072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28206072} λ = 0.28206072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503145698412109))-π/2
    2×atan(0.604625694972627)-π/2
    2×0.543813806588609-π/2
    1.08762761317722-1.57079632675     		φ = -0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28206072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.160889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17855 KachelY 19008 0.28206072 -0.48316871 16.160889 -27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 17856 KachelY 19008 0.28225246 -0.48316871 16.171875 -27.683528
    Unten links KachelX 17855 KachelY + 1 19009 0.28206072 -0.48333850 16.160889 -27.693256
    Unten rechts KachelX + 1 17856 KachelY + 1 19009 0.28225246 -0.48333850 16.171875 -27.693256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48316871--0.48333850) × R
    0.000169790000000003 × 6371000     		dl = 1081.73209000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48316871--0.48333850) × R
    0.000169790000000003 × 6371000     		dr = 1081.73209000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28206072-0.28225246) × cos(-0.48316871) × R
    0.000191739999999996 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 1081.73840161293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28206072-0.28225246) × cos(-0.48333850) × R
    0.000191739999999996 × 0.885448332832659 × 6371000     		du = 1081.64202532213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48316871)-sin(-0.48333850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.885448332832659)×R²
    abs(0.28225246-0.28206072)×7.88950725023607e-05×R²
    0.000191739999999996×7.88950725023607e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.88950725023607e-05×40589641000000     		ar = 1170099.01815774m²