Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1785 / 555
↖ ↑ ↗
← N 78.437822°
W 23.115235°		 ← 1 958.81 m → N 78.437822°
W 23.027344°		 →
↑
1 960.29 m
↓
↑
1 960.29 m
↓
N 78.420193°
W 23.115235°		 ← 1 961.76 m →
3 842 732 m²		 N 78.420193°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4359130859375 y=0.1356201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4359130859375 × 212)
    floor (0.4359130859375 × 4096)
    floor (1785.5)     		tx = 1785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1356201171875 × 212)
    floor (0.1356201171875 × 4096)
    floor (555.5)     		ty = 555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1785 / 555 ti = "12/1785/555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1785/555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1785 ÷ 212
    1785 ÷ 4096     		x = 0.435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 555 ÷ 212
    555 ÷ 4096     		y = 0.135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135498046875 × 2 - 1) × π
    0.72900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2902333162478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40343695} λ = -0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2902333162478))-π/2
    2×atan(9.87724193337953)-π/2
    2×1.46989729414963-π/2
    2.93979458829926-1.57079632675     		φ = 1.36899826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36899826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.437822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1785 KachelY 555 -0.40343695 1.36899826 -23.115235 78.437822
    Oben rechts KachelX + 1 1786 KachelY 555 -0.40190297 1.36899826 -23.027344 78.437822
    Unten links KachelX 1785 KachelY + 1 556 -0.40343695 1.36869057 -23.115235 78.420193
    Unten rechts KachelX + 1 1786 KachelY + 1 556 -0.40190297 1.36869057 -23.027344 78.420193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36899826-1.36869057) × R
    0.000307689999999861 × 6371000     		dl = 1960.29298999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36899826-1.36869057) × R
    0.000307689999999861 × 6371000     		dr = 1960.29298999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40343695--0.40190297) × cos(1.36899826) × R
    0.00153397999999999 × 0.20043123386263 × 6371000     		do = 1958.81175875231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40343695--0.40190297) × cos(1.36869057) × R
    0.00153397999999999 × 0.200732670654823 × 6371000     		du = 1961.75769647714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36899826)-sin(1.36869057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20043123386263-0.200732670654823)×R²
    abs(-0.40190297--0.40343695)×0.000301436792193549×R²
    0.00153397999999999×0.000301436792193549×6371000²
    0.00153397999999999×0.000301436792193549×40589641000000     		ar = 3842732.44026195m²