Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1785 / 553
↖ ↑ ↗
← N 78.473001°
W 23.115235°		 ← 1 952.93 m → N 78.473001°
W 23.027344°		 →
↑
1 954.37 m
↓
↑
1 954.37 m
↓
N 78.455425°
W 23.115235°		 ← 1 955.87 m →
3 819 619 m²		 N 78.455425°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4359130859375 y=0.1351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4359130859375 × 212)
    floor (0.4359130859375 × 4096)
    floor (1785.5)     		tx = 1785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1351318359375 × 212)
    floor (0.1351318359375 × 4096)
    floor (553.5)     		ty = 553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1785 / 553 ti = "12/1785/553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1785/553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1785 ÷ 212
    1785 ÷ 4096     		x = 0.435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 553 ÷ 212
    553 ÷ 4096     		y = 0.135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135009765625 × 2 - 1) × π
    0.72998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29330127782349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40343695} λ = -0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29330127782349))-π/2
    2×atan(9.90759146389647)-π/2
    2×1.47020429018905-π/2
    2.94040858037811-1.57079632675     		φ = 1.36961225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36961225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.473001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1785 KachelY 553 -0.40343695 1.36961225 -23.115235 78.473001
    Oben rechts KachelX + 1 1786 KachelY 553 -0.40190297 1.36961225 -23.027344 78.473001
    Unten links KachelX 1785 KachelY + 1 554 -0.40343695 1.36930549 -23.115235 78.455425
    Unten rechts KachelX + 1 1786 KachelY + 1 554 -0.40190297 1.36930549 -23.027344 78.455425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36961225-1.36930549) × R
    0.000306760000000184 × 6371000     		dl = 1954.36796000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36961225-1.36930549) × R
    0.000306760000000184 × 6371000     		dr = 1954.36796000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40343695--0.40190297) × cos(1.36961225) × R
    0.00153397999999999 × 0.19982966534522 × 6371000     		do = 1952.93263770472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40343695--0.40190297) × cos(1.36930549) × R
    0.00153397999999999 × 0.200130228788885 × 6371000     		du = 1955.87004020609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36961225)-sin(1.36930549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19982966534522-0.200130228788885)×R²
    abs(-0.40190297--0.40343695)×0.000300563443664276×R²
    0.00153397999999999×0.000300563443664276×6371000²
    0.00153397999999999×0.000300563443664276×40589641000000     		ar = 3819619.38779014m²