Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1785 / 1403
↖ ↑ ↗
← N 49.210420°
W 23.115235°		 ← 6 384.53 m → N 49.210420°
W 23.027344°		 →
↑
6 388.20 m
↓
↑
6 388.20 m
↓
N 49.152970°
W 23.115235°		 ← 6 391.94 m →
40 809 326 m²		 N 49.152970°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4359130859375 y=0.3426513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4359130859375 × 212)
    floor (0.4359130859375 × 4096)
    floor (1785.5)     		tx = 1785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3426513671875 × 212)
    floor (0.3426513671875 × 4096)
    floor (1403.5)     		ty = 1403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1785 / 1403 ti = "12/1785/1403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1785/1403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1785 ÷ 212
    1785 ÷ 4096     		x = 0.435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1403 ÷ 212
    1403 ÷ 4096     		y = 0.342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342529296875 × 2 - 1) × π
    0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40343695} λ = -0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989417608157959))-π/2
    2×atan(2.68966757566576)-π/2
    2×1.21484009492188-π/2
    2.42968018984375-1.57079632675     		φ = 0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1785 KachelY 1403 -0.40343695 0.85888386 -23.115235 49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 1786 KachelY 1403 -0.40190297 0.85888386 -23.027344 49.210420
    Unten links KachelX 1785 KachelY + 1 1404 -0.40343695 0.85788116 -23.115235 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 1786 KachelY + 1 1404 -0.40190297 0.85788116 -23.027344 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85888386-0.85788116) × R
    0.00100270000000002 × 6371000     		dl = 6388.20170000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85888386-0.85788116) × R
    0.00100270000000002 × 6371000     		dr = 6388.20170000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40343695--0.40190297) × cos(0.85888386) × R
    0.00153397999999999 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 6384.5252100406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40343695--0.40190297) × cos(0.85788116) × R
    0.00153397999999999 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 6391.94124106908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85888386)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.654041749545626)×R²
    abs(-0.40190297--0.40343695)×0.000758829552028994×R²
    0.00153397999999999×0.000758829552028994×6371000²
    0.00153397999999999×0.000758829552028994×40589641000000     		ar = 40809325.7706565m²