Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17849 / 15655
↖ ↑ ↗
← N  7.983078°
E 16.094971°		 ← 1 209.80 m → N  7.983078°
E 16.105957°		 →
↑
1 209.79 m
↓
↑
1 209.79 m
↓
N  7.972198°
E 16.094971°		 ← 1 209.83 m →
1 463 623 m²		 N  7.972198°
E 16.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544723510742188 y=0.477767944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544723510742188 × 215)
    floor (0.544723510742188 × 32768)
    floor (17849.5)     		tx = 17849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477767944335938 × 215)
    floor (0.477767944335938 × 32768)
    floor (15655.5)     		ty = 15655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17849 / 15655 ti = "15/17849/15655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17849/15655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17849 ÷ 215
    17849 ÷ 32768     		x = 0.544708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15655 ÷ 215
    15655 ÷ 32768     		y = 0.477752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544708251953125 × 2 - 1) × π
    0.08941650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28091023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477752685546875 × 2 - 1) × π
    0.04449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.139783999292084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28091023} λ = 0.28091023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139783999292084))-π/2
    2×atan(1.15002536573421)-π/2
    2×0.855063658725852-π/2
    1.7101273174517-1.57079632675     		φ = 0.13933099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28091023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.094971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13933099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.983078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17849 KachelY 15655 0.28091023 0.13933099 16.094971 7.983078
    Oben rechts KachelX + 1 17850 KachelY 15655 0.28110198 0.13933099 16.105957 7.983078
    Unten links KachelX 17849 KachelY + 1 15656 0.28091023 0.13914110 16.094971 7.972198
    Unten rechts KachelX + 1 17850 KachelY + 1 15656 0.28110198 0.13914110 16.105957 7.972198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13933099-0.13914110) × R
    0.000189889999999998 × 6371000     		dl = 1209.78918999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13933099-0.13914110) × R
    0.000189889999999998 × 6371000     		dr = 1209.78918999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28091023-0.28110198) × cos(0.13933099) × R
    0.000191749999999991 × 0.990309130347154 × 6371000     		do = 1209.80050326539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28091023-0.28110198) × cos(0.13914110) × R
    0.000191749999999991 × 0.990335484533361 × 6371000     		du = 1209.83269857366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13933099)-sin(0.13914110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990309130347154-0.990335484533361)×R²
    abs(0.28110198-0.28091023)×2.63541862070005e-05×R²
    0.000191749999999991×2.63541862070005e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.63541862070005e-05×40589641000000     		ar = 1463623.05007291m²