Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17848 / 15657
↖ ↑ ↗
← N  7.961317°
E 16.083984°		 ← 1 209.86 m → N  7.961317°
E 16.094971°		 →
↑
1 209.85 m
↓
↑
1 209.85 m
↓
N  7.950437°
E 16.083984°		 ← 1 209.90 m →
1 463 778 m²		 N  7.950437°
E 16.094971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544692993164062 y=0.477828979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544692993164062 × 215)
    floor (0.544692993164062 × 32768)
    floor (17848.5)     		tx = 17848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477828979492188 × 215)
    floor (0.477828979492188 × 32768)
    floor (15657.5)     		ty = 15657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17848 / 15657 ti = "15/17848/15657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17848/15657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17848 ÷ 215
    17848 ÷ 32768     		x = 0.544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15657 ÷ 215
    15657 ÷ 32768     		y = 0.477813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544677734375 × 2 - 1) × π
    0.08935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28071848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477813720703125 × 2 - 1) × π
    0.04437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.139400504095123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28071848} λ = 0.28071848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139400504095123))-π/2
    2×atan(1.14958442108555)-π/2
    2×0.854873764276088-π/2
    1.70974752855218-1.57079632675     		φ = 0.13895120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28071848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13895120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.961317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17848 KachelY 15657 0.28071848 0.13895120 16.083984 7.961317
    Oben rechts KachelX + 1 17849 KachelY 15657 0.28091023 0.13895120 16.094971 7.961317
    Unten links KachelX 17848 KachelY + 1 15658 0.28071848 0.13876130 16.083984 7.950437
    Unten rechts KachelX + 1 17849 KachelY + 1 15658 0.28091023 0.13876130 16.094971 7.950437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13895120-0.13876130) × R
    0.000189899999999993 × 6371000     		dl = 1209.85289999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13895120-0.13876130) × R
    0.000189899999999993 × 6371000     		dr = 1209.85289999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28071848-0.28091023) × cos(0.13895120) × R
    0.000191749999999991 × 0.990361804394886 × 6371000     		do = 1209.86485194956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28071848-0.28091023) × cos(0.13876130) × R
    0.000191749999999991 × 0.990388088541974 × 6371000     		du = 1209.89696169529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13895120)-sin(0.13876130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990361804394886-0.990388088541974)×R²
    abs(0.28091023-0.28071848)×2.62841470879405e-05×R²
    0.000191749999999991×2.62841470879405e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.62841470879405e-05×40589641000000     		ar = 1463777.92817262m²