Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17847 / 15769
↖ ↑ ↗
← N  6.740986°
E 16.072998°		 ← 1 213.13 m → N  6.740986°
E 16.083984°		 →
↑
1 213.17 m
↓
↑
1 213.17 m
↓
N  6.730076°
E 16.072998°		 ← 1 213.16 m →
1 471 745 m²		 N  6.730076°
E 16.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544662475585938 y=0.481246948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544662475585938 × 215)
    floor (0.544662475585938 × 32768)
    floor (17847.5)     		tx = 17847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481246948242188 × 215)
    floor (0.481246948242188 × 32768)
    floor (15769.5)     		ty = 15769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17847 / 15769 ti = "15/17847/15769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17847/15769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17847 ÷ 215
    17847 ÷ 32768     		x = 0.544647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15769 ÷ 215
    15769 ÷ 32768     		y = 0.481231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544647216796875 × 2 - 1) × π
    0.08929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28052674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481231689453125 × 2 - 1) × π
    0.03753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.117924773065338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28052674} λ = 0.28052674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117924773065338))-π/2
    2×atan(1.12515946588595)-π/2
    2×0.844224365482964-π/2
    1.68844873096593-1.57079632675     		φ = 0.11765240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28052674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.072998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11765240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.740986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17847 KachelY 15769 0.28052674 0.11765240 16.072998 6.740986
    Oben rechts KachelX + 1 17848 KachelY 15769 0.28071848 0.11765240 16.083984 6.740986
    Unten links KachelX 17847 KachelY + 1 15770 0.28052674 0.11746198 16.072998 6.730076
    Unten rechts KachelX + 1 17848 KachelY + 1 15770 0.28071848 0.11746198 16.083984 6.730076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11765240-0.11746198) × R
    0.000190420000000011 × 6371000     		dl = 1213.16582000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11765240-0.11746198) × R
    0.000190420000000011 × 6371000     		dr = 1213.16582000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28052674-0.28071848) × cos(0.11765240) × R
    0.000191739999999996 × 0.993086936178547 × 6371000     		do = 1213.13071032923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28052674-0.28071848) × cos(0.11746198) × R
    0.000191739999999996 × 0.993109269894725 × 6371000     		du = 1213.15799265063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11765240)-sin(0.11746198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993086936178547-0.993109269894725)×R²
    abs(0.28071848-0.28052674)×2.23337161771031e-05×R²
    0.000191739999999996×2.23337161771031e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.23337161771031e-05×40589641000000     		ar = 1471745.26640081m²