Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17847 / 15722
↖ ↑ ↗
← N  7.253496°
E 16.072998°		 ← 1 211.80 m → N  7.253496°
E 16.083984°		 →
↑
1 211.89 m
↓
↑
1 211.89 m
↓
N  7.242597°
E 16.072998°		 ← 1 211.83 m →
1 468 588 m²		 N  7.242597°
E 16.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544662475585938 y=0.479812622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544662475585938 × 215)
    floor (0.544662475585938 × 32768)
    floor (17847.5)     		tx = 17847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479812622070312 × 215)
    floor (0.479812622070312 × 32768)
    floor (15722.5)     		ty = 15722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17847 / 15722 ti = "15/17847/15722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17847/15722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17847 ÷ 215
    17847 ÷ 32768     		x = 0.544647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15722 ÷ 215
    15722 ÷ 32768     		y = 0.47979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544647216796875 × 2 - 1) × π
    0.08929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28052674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47979736328125 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.126936910193909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28052674} λ = 0.28052674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126936910193909))-π/2
    2×atan(1.13534538680162)-π/2
    2×0.848696857572707-π/2
    1.69739371514541-1.57079632675     		φ = 0.12659739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28052674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.072998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12659739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.253496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17847 KachelY 15722 0.28052674 0.12659739 16.072998 7.253496
    Oben rechts KachelX + 1 17848 KachelY 15722 0.28071848 0.12659739 16.083984 7.253496
    Unten links KachelX 17847 KachelY + 1 15723 0.28052674 0.12640717 16.072998 7.242597
    Unten rechts KachelX + 1 17848 KachelY + 1 15723 0.28071848 0.12640717 16.083984 7.242597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12659739-0.12640717) × R
    0.000190219999999991 × 6371000     		dl = 1211.89161999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12659739-0.12640717) × R
    0.000190219999999991 × 6371000     		dr = 1211.89161999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28052674-0.28071848) × cos(0.12659739) × R
    0.000191739999999996 × 0.991997247268955 × 6371000     		do = 1211.79957301106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28052674-0.28071848) × cos(0.12640717) × R
    0.000191739999999996 × 0.992021246403914 × 6371000     		du = 1211.82888976731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12659739)-sin(0.12640717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991997247268955-0.992021246403914)×R²
    abs(0.28071848-0.28052674)×2.39991349586521e-05×R²
    0.000191739999999996×2.39991349586521e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.39991349586521e-05×40589641000000     		ar = 1468587.51644534m²