Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17841 / 15731
↖ ↑ ↗
← N  7.155399°
E 16.007080°		 ← 1 212.13 m → N  7.155399°
E 16.018066°		 →
↑
1 212.08 m
↓
↑
1 212.08 m
↓
N  7.144499°
E 16.007080°		 ← 1 212.15 m →
1 469 213 m²		 N  7.144499°
E 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544479370117188 y=0.480087280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544479370117188 × 215)
    floor (0.544479370117188 × 32768)
    floor (17841.5)     		tx = 17841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480087280273438 × 215)
    floor (0.480087280273438 × 32768)
    floor (15731.5)     		ty = 15731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17841 / 15731 ti = "15/17841/15731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17841/15731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17841 ÷ 215
    17841 ÷ 32768     		x = 0.544464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15731 ÷ 215
    15731 ÷ 32768     		y = 0.480072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544464111328125 × 2 - 1) × π
    0.08892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27937625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480072021484375 × 2 - 1) × π
    0.03985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.125211181807587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27937625} λ = 0.27937625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125211181807587))-π/2
    2×atan(1.13338777867513)-π/2
    2×0.847840805827301-π/2
    1.6956816116546-1.57079632675     		φ = 0.12488528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27937625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.007080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12488528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.155399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17841 KachelY 15731 0.27937625 0.12488528 16.007080 7.155399
    Oben rechts KachelX + 1 17842 KachelY 15731 0.27956800 0.12488528 16.018066 7.155399
    Unten links KachelX 17841 KachelY + 1 15732 0.27937625 0.12469503 16.007080 7.144499
    Unten rechts KachelX + 1 17842 KachelY + 1 15732 0.27956800 0.12469503 16.018066 7.144499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12488528-0.12469503) × R
    0.000190250000000003 × 6371000     		dl = 1212.08275000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12488528-0.12469503) × R
    0.000190250000000003 × 6371000     		dr = 1212.08275000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27937625-0.27956800) × cos(0.12488528) × R
    0.000191749999999991 × 0.992211963385714 × 6371000     		do = 1212.12507879149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27937625-0.27956800) × cos(0.12469503) × R
    0.000191749999999991 × 0.992235643141665 × 6371000     		du = 1212.15400691079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12488528)-sin(0.12469503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992211963385714-0.992235643141665)×R²
    abs(0.27956800-0.27937625)×2.367975595019e-05×R²
    0.000191749999999991×2.367975595019e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.367975595019e-05×40589641000000     		ar = 1469213.43491438m²