Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17841 / 15599
↖ ↑ ↗
← N  8.591884°
E 16.007080°		 ← 1 207.93 m → N  8.591884°
E 16.018066°		 →
↑
1 207.94 m
↓
↑
1 207.94 m
↓
N  8.581021°
E 16.007080°		 ← 1 207.96 m →
1 459 129 m²		 N  8.581021°
E 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544479370117188 y=0.476058959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544479370117188 × 215)
    floor (0.544479370117188 × 32768)
    floor (17841.5)     		tx = 17841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476058959960938 × 215)
    floor (0.476058959960938 × 32768)
    floor (15599.5)     		ty = 15599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17841 / 15599 ti = "15/17841/15599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17841/15599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17841 ÷ 215
    17841 ÷ 32768     		x = 0.544464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15599 ÷ 215
    15599 ÷ 32768     		y = 0.476043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544464111328125 × 2 - 1) × π
    0.08892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27937625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476043701171875 × 2 - 1) × π
    0.04791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.150521864806976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27937625} λ = 0.27937625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.150521864806976))-π/2
    2×atan(1.16244072136727)-π/2
    2×0.860376499311289-π/2
    1.72075299862258-1.57079632675     		φ = 0.14995667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27937625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.007080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14995667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.591884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17841 KachelY 15599 0.27937625 0.14995667 16.007080 8.591884
    Oben rechts KachelX + 1 17842 KachelY 15599 0.27956800 0.14995667 16.018066 8.591884
    Unten links KachelX 17841 KachelY + 1 15600 0.27937625 0.14976707 16.007080 8.581021
    Unten rechts KachelX + 1 17842 KachelY + 1 15600 0.27956800 0.14976707 16.018066 8.581021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14995667-0.14976707) × R
    0.000189599999999984 × 6371000     		dl = 1207.9415999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14995667-0.14976707) × R
    0.000189599999999984 × 6371000     		dr = 1207.9415999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27937625-0.27956800) × cos(0.14995667) × R
    0.000191749999999991 × 0.988777552162117 × 6371000     		do = 1207.9294672401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27937625-0.27956800) × cos(0.14976707) × R
    0.000191749999999991 × 0.988805859736353 × 6371000     		du = 1207.96404888386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14995667)-sin(0.14976707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988777552162117-0.988805859736353)×R²
    abs(0.27956800-0.27937625)×2.83075742356642e-05×R²
    0.000191749999999991×2.83075742356642e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.83075742356642e-05×40589641000000     		ar = 1459129.14401919m²