Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17840 / 15734
↖ ↑ ↗
← N  7.122696°
E 15.996094°		 ← 1 212.21 m → N  7.122696°
E 16.007080°		 →
↑
1 212.21 m
↓
↑
1 212.21 m
↓
N  7.111795°
E 15.996094°		 ← 1 212.24 m →
1 469 473 m²		 N  7.111795°
E 16.007080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544448852539062 y=0.480178833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544448852539062 × 215)
    floor (0.544448852539062 × 32768)
    floor (17840.5)     		tx = 17840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480178833007812 × 215)
    floor (0.480178833007812 × 32768)
    floor (15734.5)     		ty = 15734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17840 / 15734 ti = "15/17840/15734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17840/15734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17840 ÷ 215
    17840 ÷ 32768     		x = 0.54443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15734 ÷ 215
    15734 ÷ 32768     		y = 0.48016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54443359375 × 2 - 1) × π
    0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48016357421875 × 2 - 1) × π
    0.0396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.124635939012146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27918450} λ = 0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124635939012146))-π/2
    2×atan(1.13273599300648)-π/2
    2×0.8475554142268-π/2
    1.6951108284536-1.57079632675     		φ = 0.12431450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12431450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.122696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17840 KachelY 15734 0.27918450 0.12431450 15.996094 7.122696
    Oben rechts KachelX + 1 17841 KachelY 15734 0.27937625 0.12431450 16.007080 7.122696
    Unten links KachelX 17840 KachelY + 1 15735 0.27918450 0.12412423 15.996094 7.111795
    Unten rechts KachelX + 1 17841 KachelY + 1 15735 0.27937625 0.12412423 16.007080 7.111795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12431450-0.12412423) × R
    0.000190269999999992 × 6371000     		dl = 1212.21016999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12431450-0.12412423) × R
    0.000190269999999992 × 6371000     		dr = 1212.21016999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27918450-0.27937625) × cos(0.12431450) × R
    0.000191749999999991 × 0.992282898630453 × 6371000     		do = 1212.21173607067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27918450-0.27937625) × cos(0.12412423) × R
    0.000191749999999991 × 0.992306473112196 × 6371000     		du = 1212.24053558287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12431450)-sin(0.12412423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992282898630453-0.992306473112196)×R²
    abs(0.27937625-0.27918450)×2.35744817428385e-05×R²
    0.000191749999999991×2.35744817428385e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.35744817428385e-05×40589641000000     		ar = 1469472.85462217m²