Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17838 / 15733
↖ ↑ ↗
← N  7.133598°
E 15.974121°		 ← 1 212.18 m → N  7.133598°
E 15.985108°		 →
↑
1 212.21 m
↓
↑
1 212.21 m
↓
N  7.122696°
E 15.974121°		 ← 1 212.21 m →
1 469 438 m²		 N  7.122696°
E 15.985108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544387817382812 y=0.480148315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544387817382812 × 215)
    floor (0.544387817382812 × 32768)
    floor (17838.5)     		tx = 17838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480148315429688 × 215)
    floor (0.480148315429688 × 32768)
    floor (15733.5)     		ty = 15733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17838 / 15733 ti = "15/17838/15733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17838/15733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17838 ÷ 215
    17838 ÷ 32768     		x = 0.54437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15733 ÷ 215
    15733 ÷ 32768     		y = 0.480133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54437255859375 × 2 - 1) × π
    0.0887451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27880101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480133056640625 × 2 - 1) × π
    0.03973388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.124827686610626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27880101} λ = 0.27880101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124827686610626))-π/2
    2×atan(1.13295321323792)-π/2
    2×0.847650547026692-π/2
    1.69530109405338-1.57079632675     		φ = 0.12450477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27880101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.974121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12450477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.133598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17838 KachelY 15733 0.27880101 0.12450477 15.974121 7.133598
    Oben rechts KachelX + 1 17839 KachelY 15733 0.27899276 0.12450477 15.985108 7.133598
    Unten links KachelX 17838 KachelY + 1 15734 0.27880101 0.12431450 15.974121 7.122696
    Unten rechts KachelX + 1 17839 KachelY + 1 15734 0.27899276 0.12431450 15.985108 7.122696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12450477-0.12431450) × R
    0.000190270000000006 × 6371000     		dl = 1212.21017000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12450477-0.12431450) × R
    0.000190270000000006 × 6371000     		dr = 1212.21017000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27880101-0.27899276) × cos(0.12450477) × R
    0.000191749999999991 × 0.992259288225418 × 6371000     		do = 1212.18289267317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27880101-0.27899276) × cos(0.12431450) × R
    0.000191749999999991 × 0.992282898630453 × 6371000     		du = 1212.21173607067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12450477)-sin(0.12431450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992259288225418-0.992282898630453)×R²
    abs(0.27899276-0.27880101)×2.36104050358454e-05×R²
    0.000191749999999991×2.36104050358454e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.36104050358454e-05×40589641000000     		ar = 1469437.91696155m²