Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17833 / 18977
↖ ↑ ↗
← S 27.381523°
E 15.919189°		 ← 1 084.77 m → S 27.381523°
E 15.930176°		 →
↑
1 084.73 m
↓
↑
1 084.73 m
↓
S 27.391278°
E 15.919189°		 ← 1 084.68 m →
1 176 628 m²		 S 27.391278°
E 15.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544235229492188 y=0.579147338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544235229492188 × 215)
    floor (0.544235229492188 × 32768)
    floor (17833.5)     		tx = 17833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579147338867188 × 215)
    floor (0.579147338867188 × 32768)
    floor (18977.5)     		ty = 18977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17833 / 18977 ti = "15/17833/18977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17833/18977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17833 ÷ 215
    17833 ÷ 32768     		x = 0.544219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18977 ÷ 215
    18977 ÷ 32768     		y = 0.579132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544219970703125 × 2 - 1) × π
    0.08843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27784227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.15826416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.497201522859222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27784227} λ = 0.27784227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497201522859222))-π/2
    2×atan(0.608230399130685)-π/2
    2×0.546449296450538-π/2
    1.09289859290108-1.57079632675     		φ = -0.47789773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27784227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.919189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47789773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.381523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17833 KachelY 18977 0.27784227 -0.47789773 15.919189 -27.381523
    Oben rechts KachelX + 1 17834 KachelY 18977 0.27803402 -0.47789773 15.930176 -27.381523
    Unten links KachelX 17833 KachelY + 1 18978 0.27784227 -0.47806799 15.919189 -27.391278
    Unten rechts KachelX + 1 17834 KachelY + 1 18978 0.27803402 -0.47806799 15.930176 -27.391278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47789773--0.47806799) × R
    0.000170259999999978 × 6371000     		dl = 1084.72645999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47789773--0.47806799) × R
    0.000170259999999978 × 6371000     		dr = 1084.72645999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27784227-0.27803402) × cos(-0.47789773) × R
    0.000191749999999991 × 0.887963746517907 × 6371000     		do = 1084.77136532327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27784227-0.27803402) × cos(-0.47806799) × R
    0.000191749999999991 × 0.887885428783309 × 6371000     		du = 1084.67568930472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47789773)-sin(-0.47806799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887963746517907-0.887885428783309)×R²
    abs(0.27803402-0.27784227)×7.831773459821e-05×R²
    0.000191749999999991×7.831773459821e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.831773459821e-05×40589641000000     		ar = 1176628.31470459m²