Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17832 / 15640
↖ ↑ ↗
← N  8.146243°
E 15.908203°		 ← 1 209.31 m → N  8.146243°
E 15.919189°		 →
↑
1 209.34 m
↓
↑
1 209.34 m
↓
N  8.135367°
E 15.908203°		 ← 1 209.35 m →
1 462 494 m²		 N  8.135367°
E 15.919189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544204711914062 y=0.477310180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544204711914062 × 215)
    floor (0.544204711914062 × 32768)
    floor (17832.5)     		tx = 17832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477310180664062 × 215)
    floor (0.477310180664062 × 32768)
    floor (15640.5)     		ty = 15640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17832 / 15640 ti = "15/17832/15640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17832/15640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17832 ÷ 215
    17832 ÷ 32768     		x = 0.544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15640 ÷ 215
    15640 ÷ 32768     		y = 0.477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544189453125 × 2 - 1) × π
    0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477294921875 × 2 - 1) × π
    0.04541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.142660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27765052} λ = 0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.142660213269287))-π/2
    2×atan(1.15333784618298)-π/2
    2×0.856487542877337-π/2
    1.71297508575467-1.57079632675     		φ = 0.14217876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14217876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.146243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17832 KachelY 15640 0.27765052 0.14217876 15.908203 8.146243
    Oben rechts KachelX + 1 17833 KachelY 15640 0.27784227 0.14217876 15.919189 8.146243
    Unten links KachelX 17832 KachelY + 1 15641 0.27765052 0.14198894 15.908203 8.135367
    Unten rechts KachelX + 1 17833 KachelY + 1 15641 0.27784227 0.14198894 15.919189 8.135367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14217876-0.14198894) × R
    0.000189819999999979 × 6371000     		dl = 1209.34321999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14217876-0.14198894) × R
    0.000189819999999979 × 6371000     		dr = 1209.34321999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27765052-0.27784227) × cos(0.14217876) × R
    0.000191749999999991 × 0.989909615222384 × 6371000     		do = 1209.312439908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27765052-0.27784227) × cos(0.14198894) × R
    0.000191749999999991 × 0.989936494924852 × 6371000     		du = 1209.34527720757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14217876)-sin(0.14198894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989909615222384-0.989936494924852)×R²
    abs(0.27784227-0.27765052)×2.68797024682854e-05×R²
    0.000191749999999991×2.68797024682854e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.68797024682854e-05×40589641000000     		ar = 1462493.66023835m²