Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17831 / 15768
↖ ↑ ↗
← N  6.751896°
E 15.897217°		 ← 1 213.10 m → N  6.751896°
E 15.908203°		 →
↑
1 213.17 m
↓
↑
1 213.17 m
↓
N  6.740986°
E 15.897217°		 ← 1 213.13 m →
1 471 712 m²		 N  6.740986°
E 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544174194335938 y=0.481216430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544174194335938 × 215)
    floor (0.544174194335938 × 32768)
    floor (17831.5)     		tx = 17831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481216430664062 × 215)
    floor (0.481216430664062 × 32768)
    floor (15768.5)     		ty = 15768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17831 / 15768 ti = "15/17831/15768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17831/15768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17831 ÷ 215
    17831 ÷ 32768     		x = 0.544158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15768 ÷ 215
    15768 ÷ 32768     		y = 0.481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544158935546875 × 2 - 1) × π
    0.08831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27745878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481201171875 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27745878} λ = 0.27745878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118116520663818))-π/2
    2×atan(1.12537523319721)-π/2
    2×0.844319575428413-π/2
    1.68863915085683-1.57079632675     		φ = 0.11784282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27745878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.897217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11784282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.751896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17831 KachelY 15768 0.27745878 0.11784282 15.897217 6.751896
    Oben rechts KachelX + 1 17832 KachelY 15768 0.27765052 0.11784282 15.908203 6.751896
    Unten links KachelX 17831 KachelY + 1 15769 0.27745878 0.11765240 15.897217 6.740986
    Unten rechts KachelX + 1 17832 KachelY + 1 15769 0.27765052 0.11765240 15.908203 6.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11784282-0.11765240) × R
    0.000190419999999997 × 6371000     		dl = 1213.16581999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11784282-0.11765240) × R
    0.000190419999999997 × 6371000     		dr = 1213.16581999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27745878-0.27765052) × cos(0.11784282) × R
    0.000191739999999996 × 0.99306456645326 × 6371000     		do = 1213.10338401998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27745878-0.27765052) × cos(0.11765240) × R
    0.000191739999999996 × 0.993086936178547 × 6371000     		du = 1213.13071032923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11784282)-sin(0.11765240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99306456645326-0.993086936178547)×R²
    abs(0.27765052-0.27745878)×2.23697252873523e-05×R²
    0.000191739999999996×2.23697252873523e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.23697252873523e-05×40589641000000     		ar = 1471712.14173853m²