Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17830 / 13732
↖ ↑ ↗
← N 80.457688°
W131.028442°		 ← 50.62 m → N 80.457688°
W131.025696°		 →
↑
50.65 m
↓
↑
50.65 m
↓
N 80.457232°
W131.028442°		 ← 50.62 m →
2 564 m²		 N 80.457232°
W131.025696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136035919189453 y=0.104770660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136035919189453 × 217)
    floor (0.136035919189453 × 131072)
    floor (17830.5)     		tx = 17830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104770660400391 × 217)
    floor (0.104770660400391 × 131072)
    floor (13732.5)     		ty = 13732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17830 / 13732 ti = "17/17830/13732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17830/13732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17830 ÷ 217
    17830 ÷ 131072     		x = 0.136032104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13732 ÷ 217
    13732 ÷ 131072     		y = 0.104766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136032104492188 × 2 - 1) × π
    -0.727935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28687773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104766845703125 × 2 - 1) × π
    0.79046630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48332314791739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28687773} λ = -2.28687773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48332314791739))-π/2
    2×atan(11.9810130144837)-π/2
    2×1.48752394409742-π/2
    2.97504788819485-1.57079632675     		φ = 1.40425156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28687773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.028442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40425156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.457688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17830 KachelY 13732 -2.28687773 1.40425156 -131.028442 80.457688
    Oben rechts KachelX + 1 17831 KachelY 13732 -2.28682980 1.40425156 -131.025696 80.457688
    Unten links KachelX 17830 KachelY + 1 13733 -2.28687773 1.40424361 -131.028442 80.457232
    Unten rechts KachelX + 1 17831 KachelY + 1 13733 -2.28682980 1.40424361 -131.025696 80.457232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40425156-1.40424361) × R
    7.95000000008983e-06 × 6371000     		dl = 50.6494500005723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40425156-1.40424361) × R
    7.95000000008983e-06 × 6371000     		dr = 50.6494500005723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28687773--2.28682980) × cos(1.40425156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165775920727665 × 6371000     		do = 50.6216716785498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28687773--2.28682980) × cos(1.40424361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165783760721829 × 6371000     		du = 50.6240657150831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40425156)-sin(1.40424361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165775920727665-0.165783760721829)×R²
    abs(-2.28682980--2.28687773)×7.83999416453796e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.83999416453796e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.83999416453796e-06×40589641000000     		ar = 2564.0204569754m²