Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1783 / 952
↖ ↑ ↗
← N 68.911005°
W 23.291016°		 ← 3 516.49 m → N 68.911005°
W 23.203125°		 →
↑
3 519.02 m
↓
↑
3 519.02 m
↓
N 68.879358°
W 23.291016°		 ← 3 521.53 m →
12 383 476 m²		 N 68.879358°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4354248046875 y=0.2325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4354248046875 × 212)
    floor (0.4354248046875 × 4096)
    floor (1783.5)     		tx = 1783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2325439453125 × 212)
    floor (0.2325439453125 × 4096)
    floor (952.5)     		ty = 952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1783 / 952 ti = "12/1783/952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1783/952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1783 ÷ 212
    1783 ÷ 4096     		x = 0.435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 952 ÷ 212
    952 ÷ 4096     		y = 0.232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232421875 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40650491} λ = -0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68124294347461))-π/2
    2×atan(5.37222920026812)-π/2
    2×1.38676012609572-π/2
    2.77352025219145-1.57079632675     		φ = 1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1783 KachelY 952 -0.40650491 1.20272393 -23.291016 68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 1784 KachelY 952 -0.40497093 1.20272393 -23.203125 68.911005
    Unten links KachelX 1783 KachelY + 1 953 -0.40650491 1.20217158 -23.291016 68.879358
    Unten rechts KachelX + 1 1784 KachelY + 1 953 -0.40497093 1.20217158 -23.203125 68.879358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20272393-1.20217158) × R
    0.000552350000000201 × 6371000     		dl = 3519.02185000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20272393-1.20217158) × R
    0.000552350000000201 × 6371000     		dr = 3519.02185000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40650491--0.40497093) × cos(1.20272393) × R
    0.00153397999999999 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 3516.49261591742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40650491--0.40497093) × cos(1.20217158) × R
    0.00153397999999999 × 0.360332904233438 × 6371000     		du = 3521.52863740579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20272393)-sin(1.20217158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.360332904233438)×R²
    abs(-0.40497093--0.40650491)×0.000515300153862586×R²
    0.00153397999999999×0.000515300153862586×6371000²
    0.00153397999999999×0.000515300153862586×40589641000000     		ar = 12383475.6004475m²