Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1783 / 1322
↖ ↑ ↗
← N 53.644638°
W 23.291016°		 ← 5 793.34 m → N 53.644638°
W 23.203125°		 →
↑
5 796.97 m
↓
↑
5 796.97 m
↓
N 53.592505°
W 23.291016°		 ← 5 800.50 m →
33 604 615 m²		 N 53.592505°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4354248046875 y=0.3228759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4354248046875 × 212)
    floor (0.4354248046875 × 4096)
    floor (1783.5)     		tx = 1783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3228759765625 × 212)
    floor (0.3228759765625 × 4096)
    floor (1322.5)     		ty = 1322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1783 / 1322 ti = "12/1783/1322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1783/1322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1783 ÷ 212
    1783 ÷ 4096     		x = 0.435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1322 ÷ 212
    1322 ÷ 4096     		y = 0.32275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32275390625 × 2 - 1) × π
    0.3544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11367005197314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40650491} λ = -0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11367005197314))-π/2
    2×atan(3.04551510778458)-π/2
    2×1.25353594142983-π/2
    2.50707188285966-1.57079632675     		φ = 0.93627556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93627556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.644638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1783 KachelY 1322 -0.40650491 0.93627556 -23.291016 53.644638
    Oben rechts KachelX + 1 1784 KachelY 1322 -0.40497093 0.93627556 -23.203125 53.644638
    Unten links KachelX 1783 KachelY + 1 1323 -0.40650491 0.93536566 -23.291016 53.592505
    Unten rechts KachelX + 1 1784 KachelY + 1 1323 -0.40497093 0.93536566 -23.203125 53.592505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93627556-0.93536566) × R
    0.000909900000000019 × 6371000     		dl = 5796.97290000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93627556-0.93536566) × R
    0.000909900000000019 × 6371000     		dr = 5796.97290000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40650491--0.40497093) × cos(0.93627556) × R
    0.00153397999999999 × 0.592791629165245 × 6371000     		do = 5793.34463656824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40650491--0.40497093) × cos(0.93536566) × R
    0.00153397999999999 × 0.593524176982808 × 6371000     		du = 5800.50381655849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93627556)-sin(0.93536566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592791629165245-0.593524176982808)×R²
    abs(-0.40497093--0.40650491)×0.000732547817563045×R²
    0.00153397999999999×0.000732547817563045×6371000²
    0.00153397999999999×0.000732547817563045×40589641000000     		ar = 33604614.963235m²