Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17829 / 13733
↖ ↑ ↗
← N 80.457232°
W131.031189°		 ← 50.63 m → N 80.457232°
W131.028442°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.456777°
W131.031189°		 ← 50.64 m →
2 561 m²		 N 80.456777°
W131.028442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136028289794922 y=0.104778289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136028289794922 × 217)
    floor (0.136028289794922 × 131072)
    floor (17829.5)     		tx = 17829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104778289794922 × 217)
    floor (0.104778289794922 × 131072)
    floor (13733.5)     		ty = 13733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17829 / 13733 ti = "17/17829/13733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17829/13733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17829 ÷ 217
    17829 ÷ 131072     		x = 0.136024475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13733 ÷ 217
    13733 ÷ 131072     		y = 0.104774475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136024475097656 × 2 - 1) × π
    -0.727951049804688 × 3.1415926535     		Λ = -2.28692567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104774475097656 × 2 - 1) × π
    0.790451049804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.48327521101777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28692567} λ = -2.28692567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48327521101777))-π/2
    2×atan(11.9804386956311)-π/2
    2×1.4875199706117-π/2
    2.9750399412234-1.57079632675     		φ = 1.40424361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28692567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.031189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40424361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.457232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17829 KachelY 13733 -2.28692567 1.40424361 -131.031189 80.457232
    Oben rechts KachelX + 1 17830 KachelY 13733 -2.28687773 1.40424361 -131.028442 80.457232
    Unten links KachelX 17829 KachelY + 1 13734 -2.28692567 1.40423567 -131.031189 80.456777
    Unten rechts KachelX + 1 17830 KachelY + 1 13734 -2.28687773 1.40423567 -131.028442 80.456777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40424361-1.40423567) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40424361-1.40423567) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28692567--2.28687773) × cos(1.40424361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165783760721829 × 6371000     		do = 50.6346277984145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28692567--2.28687773) × cos(1.40423567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165791590843908 × 6371000     		du = 50.6370193192446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40424361)-sin(1.40423567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165783760721829-0.165791590843908)×R²
    abs(-2.28687773--2.28692567)×7.83012207833389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83012207833389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83012207833389e-06×40589641000000     		ar = 2561.45060539093m²