Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17828 / 52397
↖ ↑ ↗
← S 72.680860°
W 82.067871°		 ← 181.83 m → S 72.680860°
W 82.062378°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
S 72.682495°
W 82.067871°		 ← 181.81 m →
33 060 m²		 S 72.682495°
W 82.062378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272041320800781 y=0.799522399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272041320800781 × 216)
    floor (0.272041320800781 × 65536)
    floor (17828.5)     		tx = 17828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799522399902344 × 216)
    floor (0.799522399902344 × 65536)
    floor (52397.5)     		ty = 52397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17828 / 52397 ti = "16/17828/52397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17828/52397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17828 ÷ 216
    17828 ÷ 65536     		x = 0.27203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52397 ÷ 216
    52397 ÷ 65536     		y = 0.799514770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43235456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799514770507812 × 2 - 1) × π
    -0.599029541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88190680528416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43235456} λ = -1.43235456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88190680528416))-π/2
    2×atan(0.152299423362353)-π/2
    2×0.151138010300522-π/2
    0.302276020601044-1.57079632675     		φ = -1.26852031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43235456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.067871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26852031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.680860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17828 KachelY 52397 -1.43235456 -1.26852031 -82.067871 -72.680860
    Oben rechts KachelX + 1 17829 KachelY 52397 -1.43225869 -1.26852031 -82.062378 -72.680860
    Unten links KachelX 17828 KachelY + 1 52398 -1.43235456 -1.26854885 -82.067871 -72.682495
    Unten rechts KachelX + 1 17829 KachelY + 1 52398 -1.43225869 -1.26854885 -82.062378 -72.682495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26852031--1.26854885) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26852031--1.26854885) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43235456--1.43225869) × cos(-1.26852031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29769380124377 × 6371000     		do = 181.827733004502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43235456--1.43225869) × cos(-1.26854885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297666555085997 × 6371000     		du = 181.811091384554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26852031)-sin(-1.26854885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29769380124377-0.297666555085997)×R²
    abs(-1.43225869--1.43235456)×2.72461577728866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72461577728866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72461577728866e-05×40589641000000     		ar = 33059.921901562m²